Господин Экзамен

Другие калькуляторы

2^(-x^2)
Построение графика функции/ 2^(-x^2)

График функции y = 2^(-x^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          2
        -x 
f(x) = 2
f(x)=2−x2f{\left(x \right)} = 2^{- x^{2}} 
f = 2^(-x^2)
График функции
02468-8-6-4-2-101002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
2−x2=02^{- x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2^(-x^2).
2−022^{- 0^{2}}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
−2⋅2−x2xlog⁡(2)=0- 2 \cdot 2^{- x^{2}} x \log{\left(2 \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=0x_{1} = 0
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Возрастает на промежутках
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2⋅2−x2⋅(2x2log⁡(2)−1)log⁡(2)=02 \cdot 2^{- x^{2}} \cdot \left(2 x^{2} \log{\left(2 \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=−22log⁡(2)x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
x2=22log⁡(2)x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(−∞,−22log⁡(2)]∪[22log⁡(2),∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[−22log⁡(2),22log⁡(2)]\left[- \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}, \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞2−x2=0\lim_{x \to -\infty} 2^{- x^{2}} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞2−x2=0\lim_{x \to \infty} 2^{- x^{2}} = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2^(-x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(2−x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x^{2}}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2−x2=2−x22^{- x^{2}} = 2^{- x^{2}}
- Да
2−x2=−2−x22^{- x^{2}} = - 2^{- x^{2}}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 2^(-x^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор