Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- два *log(x+ три)/x- три
- 2 умножить на логарифм от (x плюс 3) делить на x минус 3
- два умножить на логарифм от (x плюс три) делить на x минус три
- 2log(x+3)/x-3
- 2logx+3/x-3
- 2*log(x+3) разделить на x-3
-
Похожие выражения
- 2*log((x+3)/(x))-3
- 2*log(x+3)/x+3
- 2*log((x+3)/x)-3
- 2*log(x-3)/x-3
- 2*log(x+3/x)-3
-
Что Вы имели ввиду?
- 2*log(x + 3)/(x - 1*3)
- 2*log(x + 3)/x - 1*3
- 2*log(x + 3)/(x - 1*3)
- 2*log(x + 3)/x - 1*3
- 2*log(x + 3)/(x - 1*3)
- 2*log(x + 3)/x - 1*3
- 2*log(x + 3)/x - 1*3
Вы ввели:
2*log(x+3)/x-3
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 2*log(x+3)/x-3
Решение
Вы ввели
[src]
2*log(x + 3)
f(x) = ------------ - 3
x
$$f{\left(x \right)} = \left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}$$
f = -1*3 + 2*log(x + 3)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3 - \frac{2 W\left(- \frac{3}{2 e^{\frac{9}{2}}}\right)}{3}$$
$$x_{2} = -3 - \frac{2 W_{-1}\left(- \frac{3}{2 e^{\frac{9}{2}}}\right)}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.98870112007792$$
$$x_{2} = 0.908824451300817$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3 - \frac{2 W\left(- \frac{3}{2 e^{\frac{9}{2}}}\right)}{3}$$
$$x_{2} = -3 - \frac{2 W_{-1}\left(- \frac{3}{2 e^{\frac{9}{2}}}\right)}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.98870112007792$$
$$x_{2} = 0.908824451300817$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 3\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 3\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 36326.741841763$$
$$x_{2} = 44204.1166985693$$
$$x_{3} = 57555.8805564298$$
$$x_{4} = 30644.4070335614$$
$$x_{5} = 58661.6683613746$$
$$x_{6} = 38585.6867389593$$
$$x_{7} = 53123.0575695818$$
$$x_{8} = 37457.1165432152$$
$$x_{9} = 56449.1537881797$$
$$x_{10} = 48673.2683225189$$
$$x_{11} = -2$$
$$x_{12} = 43083.4622826575$$
$$x_{13} = 34060.2172304577$$
$$x_{14} = 32923.8658113025$$
$$x_{15} = 55341.460585528$$
$$x_{16} = 41961.3545187714$$
$$x_{17} = 35194.474176351$$
$$x_{18} = 45323.3738151654$$
$$x_{19} = 40837.733275076$$
$$x_{20} = 50900.4203746904$$
$$x_{21} = 49787.4275369804$$
$$x_{22} = 47557.9021762819$$
$$x_{23} = 52012.285038714$$
$$x_{24} = 39712.5339023989$$
$$x_{25} = 46441.2859799058$$
$$x_{26} = 54232.7720154785$$
$$x_{27} = 31785.3046573135$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 36326.741841763$$
$$x_{2} = 44204.1166985693$$
$$x_{3} = 57555.8805564298$$
$$x_{4} = 30644.4070335614$$
$$x_{5} = 58661.6683613746$$
$$x_{6} = 38585.6867389593$$
$$x_{7} = 53123.0575695818$$
$$x_{8} = 37457.1165432152$$
$$x_{9} = 56449.1537881797$$
$$x_{10} = 48673.2683225189$$
$$x_{11} = -2$$
$$x_{12} = 43083.4622826575$$
$$x_{13} = 34060.2172304577$$
$$x_{14} = 32923.8658113025$$
$$x_{15} = 55341.460585528$$
$$x_{16} = 41961.3545187714$$
$$x_{17} = 35194.474176351$$
$$x_{18} = 45323.3738151654$$
$$x_{19} = 40837.733275076$$
$$x_{20} = 50900.4203746904$$
$$x_{21} = 49787.4275369804$$
$$x_{22} = 47557.9021762819$$
$$x_{23} = 52012.285038714$$
$$x_{24} = 39712.5339023989$$
$$x_{25} = 46441.2859799058$$
$$x_{26} = 54232.7720154785$$
$$x_{27} = 31785.3046573135$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 3\right)}\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}\right) = -3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -3$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*log(x + 3)/x - 1*3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = -3 - \frac{2 \log{\left(- x + 3 \right)}}{x}$$
- Нет
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = 3 + \frac{2 \log{\left(- x + 3 \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = -3 - \frac{2 \log{\left(- x + 3 \right)}}{x}$$
- Нет
$$\left(-1\right) 3 + \frac{2 \log{\left(x + 3 \right)}}{x} = 3 + \frac{2 \log{\left(- x + 3 \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График