Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*cos(x/2-pi/8)+1
-
(2*x+3)/(x-1)
-
x^5-5*x^3-270*x
- sqrt(-79-18*x-x^2)
-
Идентичные выражения
- два *cos(x/ два -pi/ восемь)+ один
- 2 умножить на косинус от (x делить на 2 минус число пи делить на 8) плюс 1
- два умножить на косинус от (x делить на два минус число пи делить на восемь) плюс один
- 2cos(x/2-pi/8)+1
- 2cosx/2-pi/8+1
- 2*cos(x разделить на 2-pi разделить на 8)+1
-
Похожие выражения
- 2*cos(x/2+pi/8)+1
- 2*cos(x/2-pi/8)-1
График функции y = 2*cos(x/2-pi/8)+1
Решение
Вы ввели
[src]
/x pi\
f(x) = 2*cos|- - --| + 1
\2 8 /
$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1$$
f = 2*cos(x/2 - pi/8) + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{13 \pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{19 \pi}{12}$$
Численное решение
$$x_{1} = -91.3679863419031$$
$$x_{2} = -5633.1374272743$$
$$x_{3} = 9.16297857297023$$
$$x_{4} = 71.9948316447661$$
$$x_{5} = 84.5612022591253$$
$$x_{6} = 17.540558982543$$
$$x_{7} = -723.875307264648$$
$$x_{8} = -95.5567765466895$$
$$x_{9} = -3.40339204138894$$
$$x_{10} = -66.2352451131848$$
$$x_{11} = -41.1025038844665$$
$$x_{12} = 92.9387826686981$$
$$x_{13} = -32.7249234748937$$
$$x_{14} = -70.4240353179712$$
$$x_{15} = -53.6688744988256$$
$$x_{16} = 67.8060414399797$$
$$x_{17} = 21.7293491873294$$
$$x_{18} = 105.505153283057$$
$$x_{19} = 30.1069295969022$$
$$x_{20} = -20.1585528605345$$
$$x_{21} = -799.273530950803$$
$$x_{22} = -15.9697626557481$$
$$x_{23} = -28.5361332701073$$
$$x_{24} = -45.2912940892529$$
$$x_{25} = 55.2396708256205$$
$$x_{26} = 97.1275728734844$$
$$x_{27} = 4.97418836818384$$
$$x_{28} = -7.59218224617533$$
$$x_{29} = 46.8620904160477$$
$$x_{30} = 80.3724120543389$$
$$x_{31} = -78.801615727544$$
$$x_{32} = -82.9904059323304$$
$$x_{33} = -145.822259004126$$
$$x_{34} = -57.857664703612$$
$$x_{35} = 59.4284610304069$$
$$x_{36} = 42.6733002112614$$
$$x_{37} = 34.2957198016886$$
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{13 \pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{19 \pi}{12}$$
Численное решение
$$x_{1} = -91.3679863419031$$
$$x_{2} = -5633.1374272743$$
$$x_{3} = 9.16297857297023$$
$$x_{4} = 71.9948316447661$$
$$x_{5} = 84.5612022591253$$
$$x_{6} = 17.540558982543$$
$$x_{7} = -723.875307264648$$
$$x_{8} = -95.5567765466895$$
$$x_{9} = -3.40339204138894$$
$$x_{10} = -66.2352451131848$$
$$x_{11} = -41.1025038844665$$
$$x_{12} = 92.9387826686981$$
$$x_{13} = -32.7249234748937$$
$$x_{14} = -70.4240353179712$$
$$x_{15} = -53.6688744988256$$
$$x_{16} = 67.8060414399797$$
$$x_{17} = 21.7293491873294$$
$$x_{18} = 105.505153283057$$
$$x_{19} = 30.1069295969022$$
$$x_{20} = -20.1585528605345$$
$$x_{21} = -799.273530950803$$
$$x_{22} = -15.9697626557481$$
$$x_{23} = -28.5361332701073$$
$$x_{24} = -45.2912940892529$$
$$x_{25} = 55.2396708256205$$
$$x_{26} = 97.1275728734844$$
$$x_{27} = 4.97418836818384$$
$$x_{28} = -7.59218224617533$$
$$x_{29} = 46.8620904160477$$
$$x_{30} = 80.3724120543389$$
$$x_{31} = -78.801615727544$$
$$x_{32} = -82.9904059323304$$
$$x_{33} = -145.822259004126$$
$$x_{34} = -57.857664703612$$
$$x_{35} = 59.4284610304069$$
$$x_{36} = 42.6733002112614$$
$$x_{37} = 34.2957198016886$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi / pi pi\ (--, 1 + 2*cos|- -- + --|) 4 \ 8 8 /
9*pi (----, -1) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{9 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{4 x + 3 \pi}{8} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{4 x + 3 \pi}{8} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(x/2 - pi/8) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} + 1$$
- Нет
$$2 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График