Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x+3)/(x-1)
-
x^5-5*x^3-270*x
- sqrt(-79-18*x-x^2)
-
2*x^3+3*x^2-12*x
-
Идентичные выражения
- x^ пять - пять *x^ три - двести семьдесят *x
- x в степени 5 минус 5 умножить на x в кубе минус 270 умножить на x
- x в степени пять минус пять умножить на x в степени три минус двести семьдесят умножить на x
- x5-5*x3-270*x
- x⁵-5*x³-270*x
- x в степени 5-5*x в степени 3-270*x
- x^5-5x^3-270x
- x5-5x3-270x
-
Похожие выражения
- x^5-5*x^3+270*x
- x^5+5*x^3-270*x
График функции y = x^5-5*x^3-270*x
Решение
Вы ввели
[src]
5 3 f(x) = x - 5*x - 270*x
$$f{\left(x \right)} = x^{5} - 5 x^{3} - 270 x$$
f = x^5 - 5*x^3 - 270*x
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{1105}}{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{1105}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4.37273028422685$$
$$x_{3} = -4.37273028422685$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{1105}}{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{1105}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4.37273028422685$$
$$x_{3} = -4.37273028422685$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 15 x^{2} - 270 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 15 x^{2} - 270 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 702)
(3, -702)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$10 x \left(2 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$10 x \left(2 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{6}}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 5 x^{3} - 270 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 5 x^{3} - 270 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 5 x^{3} - 270 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 5 x^{3} - 270 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - 5*x^3 - 270*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 5 x^{3} - 270 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 5 x^{3} - 270 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 5 x^{3} - 270 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 5 x^{3} - 270 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = - x^{5} + 5 x^{3} + 270 x$$
- Нет
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = x^{5} - 5 x^{3} - 270 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = - x^{5} + 5 x^{3} + 270 x$$
- Нет
$$x^{5} - 5 x^{3} - 270 x = x^{5} - 5 x^{3} - 270 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График