Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
log(x+sqrt(x^2+1))
-
2*cos(2*x)+1
-
8-2*x
-
9-10*x
- Производная:
-
2*cos(2*x)+1
-
Идентичные выражения
- два *cos(два *x)+ один
- 2 умножить на косинус от (2 умножить на x) плюс 1
- два умножить на косинус от (два умножить на x) плюс один
- 2cos(2x)+1
- 2cos2x+1
-
Похожие выражения
- 2*cos(2*x)-1
- (-1/2)*cos(2*x)+1
График функции y = 2*cos(2*x)+1
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = 2*cos(2*x) + 1
$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)} + 1$$
f = 2*cos(2*x) + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 41.8879020478639$$
$$x_{2} = 60.7374579694027$$
$$x_{3} = 68.0678408277789$$
$$x_{4} = 98.4365698124802$$
$$x_{5} = -32.4631240870945$$
$$x_{6} = -378.038315981972$$
$$x_{7} = 70.162235930172$$
$$x_{8} = 52.3598775598299$$
$$x_{9} = -26.1799387799149$$
$$x_{10} = 96.342174710087$$
$$x_{11} = 10.471975511966$$
$$x_{12} = -10.471975511966$$
$$x_{13} = -57.5958653158129$$
$$x_{14} = -77.4926187885482$$
$$x_{15} = -294.262511886244$$
$$x_{16} = 24.0855436775217$$
$$x_{17} = 17.8023583703422$$
$$x_{18} = 33.5103216382911$$
$$x_{19} = -30.3687289847013$$
$$x_{20} = 85.870199198121$$
$$x_{21} = -49.2182849062401$$
$$x_{22} = -35.6047167406843$$
$$x_{23} = 54.4542726622231$$
$$x_{24} = -70.162235930172$$
$$x_{25} = -33.5103216382911$$
$$x_{26} = -96.342174710087$$
$$x_{27} = -46.0766922526503$$
$$x_{28} = -14.6607657167524$$
$$x_{29} = 26.1799387799149$$
$$x_{30} = 55.5014702134197$$
$$x_{31} = -54.4542726622231$$
$$x_{32} = 76.4454212373516$$
$$x_{33} = 83.7758040957278$$
$$x_{34} = 38.7463093942741$$
$$x_{35} = 32.4631240870945$$
$$x_{36} = -2.0943951023932$$
$$x_{37} = -48.1710873550435$$
$$x_{38} = -90.0589894029074$$
$$x_{39} = -93.2005820564972$$
$$x_{40} = 8.37758040957278$$
$$x_{41} = -24.0855436775217$$
$$x_{42} = -68.0678408277789$$
$$x_{43} = -61.7846555205993$$
$$x_{44} = 48.1710873550435$$
$$x_{45} = -17.8023583703422$$
$$x_{46} = -63.8790506229925$$
$$x_{47} = -60.7374579694027$$
$$x_{48} = 39.7935069454707$$
$$x_{49} = -41.8879020478639$$
$$x_{50} = 1515.29485658148$$
$$x_{51} = -27.2271363311115$$
$$x_{52} = 46.0766922526503$$
$$x_{53} = -39.7935069454707$$
$$x_{54} = -5.23598775598299$$
$$x_{55} = 30.3687289847013$$
$$x_{56} = -79.5870138909414$$
$$x_{57} = 92.1533845053006$$
$$x_{58} = -98.4365698124802$$
$$x_{59} = 19.8967534727354$$
$$x_{60} = -76.4454212373516$$
$$x_{61} = -99.4837673636768$$
$$x_{62} = 63.8790506229925$$
$$x_{63} = -83.7758040957278$$
$$x_{64} = 61.7846555205993$$
$$x_{65} = -13.6135681655558$$
$$x_{66} = -71.2094334813686$$
$$x_{67} = 79.5870138909414$$
$$x_{68} = 82.7286065445312$$
$$x_{69} = -92.1533845053006$$
$$x_{70} = 11.5191730631626$$
$$x_{71} = -55.5014702134197$$
$$x_{72} = 2.0943951023932$$
$$x_{73} = 77.4926187885482$$
$$x_{74} = 20.943951023932$$
$$x_{75} = -11.5191730631626$$
$$x_{76} = 4.18879020478639$$
$$x_{77} = 16.7551608191456$$
$$x_{78} = 99.4837673636768$$
$$x_{79} = 74.3510261349584$$
$$x_{80} = -4.18879020478639$$
$$x_{81} = 90.0589894029074$$
$$x_{82} = -85.870199198121$$
$$x_{83} = -19.8967534727354$$
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 41.8879020478639$$
$$x_{2} = 60.7374579694027$$
$$x_{3} = 68.0678408277789$$
$$x_{4} = 98.4365698124802$$
$$x_{5} = -32.4631240870945$$
$$x_{6} = -378.038315981972$$
$$x_{7} = 70.162235930172$$
$$x_{8} = 52.3598775598299$$
$$x_{9} = -26.1799387799149$$
$$x_{10} = 96.342174710087$$
$$x_{11} = 10.471975511966$$
$$x_{12} = -10.471975511966$$
$$x_{13} = -57.5958653158129$$
$$x_{14} = -77.4926187885482$$
$$x_{15} = -294.262511886244$$
$$x_{16} = 24.0855436775217$$
$$x_{17} = 17.8023583703422$$
$$x_{18} = 33.5103216382911$$
$$x_{19} = -30.3687289847013$$
$$x_{20} = 85.870199198121$$
$$x_{21} = -49.2182849062401$$
$$x_{22} = -35.6047167406843$$
$$x_{23} = 54.4542726622231$$
$$x_{24} = -70.162235930172$$
$$x_{25} = -33.5103216382911$$
$$x_{26} = -96.342174710087$$
$$x_{27} = -46.0766922526503$$
$$x_{28} = -14.6607657167524$$
$$x_{29} = 26.1799387799149$$
$$x_{30} = 55.5014702134197$$
$$x_{31} = -54.4542726622231$$
$$x_{32} = 76.4454212373516$$
$$x_{33} = 83.7758040957278$$
$$x_{34} = 38.7463093942741$$
$$x_{35} = 32.4631240870945$$
$$x_{36} = -2.0943951023932$$
$$x_{37} = -48.1710873550435$$
$$x_{38} = -90.0589894029074$$
$$x_{39} = -93.2005820564972$$
$$x_{40} = 8.37758040957278$$
$$x_{41} = -24.0855436775217$$
$$x_{42} = -68.0678408277789$$
$$x_{43} = -61.7846555205993$$
$$x_{44} = 48.1710873550435$$
$$x_{45} = -17.8023583703422$$
$$x_{46} = -63.8790506229925$$
$$x_{47} = -60.7374579694027$$
$$x_{48} = 39.7935069454707$$
$$x_{49} = -41.8879020478639$$
$$x_{50} = 1515.29485658148$$
$$x_{51} = -27.2271363311115$$
$$x_{52} = 46.0766922526503$$
$$x_{53} = -39.7935069454707$$
$$x_{54} = -5.23598775598299$$
$$x_{55} = 30.3687289847013$$
$$x_{56} = -79.5870138909414$$
$$x_{57} = 92.1533845053006$$
$$x_{58} = -98.4365698124802$$
$$x_{59} = 19.8967534727354$$
$$x_{60} = -76.4454212373516$$
$$x_{61} = -99.4837673636768$$
$$x_{62} = 63.8790506229925$$
$$x_{63} = -83.7758040957278$$
$$x_{64} = 61.7846555205993$$
$$x_{65} = -13.6135681655558$$
$$x_{66} = -71.2094334813686$$
$$x_{67} = 79.5870138909414$$
$$x_{68} = 82.7286065445312$$
$$x_{69} = -92.1533845053006$$
$$x_{70} = 11.5191730631626$$
$$x_{71} = -55.5014702134197$$
$$x_{72} = 2.0943951023932$$
$$x_{73} = 77.4926187885482$$
$$x_{74} = 20.943951023932$$
$$x_{75} = -11.5191730631626$$
$$x_{76} = 4.18879020478639$$
$$x_{77} = 16.7551608191456$$
$$x_{78} = 99.4837673636768$$
$$x_{79} = 74.3510261349584$$
$$x_{80} = -4.18879020478639$$
$$x_{81} = 90.0589894029074$$
$$x_{82} = -85.870199198121$$
$$x_{83} = -19.8967534727354$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 3)
pi (--, -1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(2*x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(2 x \right)} + 1$$
- Да
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(2 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(2 x \right)} + 1$$
- Да
$$2 \cos{\left(2 x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(2 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График