Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-(1/2)*cos(2*x)+1
-
-2*x^3+3*x^2+12*x+4
-
cos(x-pi)+2
-
x^2-(|x|)
-
Идентичные выражения
- -(один / два)*cos(два *x)+ один
- минус (1 делить на 2) умножить на косинус от (2 умножить на x) плюс 1
- минус (один делить на два) умножить на косинус от (два умножить на x) плюс один
- -(1/2)cos(2x)+1
- -1/2cos2x+1
- -(1 разделить на 2)*cos(2*x)+1
-
Похожие выражения
- (1/2)*cos(2*x)+1
- -1/2*cos(2*x)+1
- (-1/2)*cos(2*x)+1
- -(1/2)*cos(2*x)-1
График функции y = -(1/2)*cos(2*x)+1
Решение
Вы ввели
[src]
cos(2*x)
f(x) = - -------- + 1
2
$$f{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1$$
f = 1 - cos(2*x)/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/2)
pi (--, 3/2) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -cos(2*x)/2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1$$
- Да
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1$$
- Да
$$- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + 1 = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График