Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*cos(2*x+(pi/3))
-
sqrt(4*x-x^2)
-
6*sin(x)-8*cos(x)
-
(60-x)*e^(x+60)
-
Идентичные выражения
- два *cos(два *x+(pi/ три))
- 2 умножить на косинус от (2 умножить на x плюс ( число пи делить на 3))
- два умножить на косинус от (два умножить на x плюс ( число пи делить на три))
- 2cos(2x+(pi/3))
- 2cos2x+pi/3
- 2*cos(2*x+(pi разделить на 3))
-
Похожие выражения
- -2*cos(2*x+pi/3)
- 2*cos(2*x-(pi/3))
График функции y = 2*cos(2*x+(pi/3))
Решение
Вы ввели
[src]
/ pi\
f(x) = 2*cos|2*x + --|
\ 3 /
$$f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
f = 2*cos(2*x + pi/3)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Численное решение
$$x_{1} = 52.0980781720307$$
$$x_{2} = -57.857664703612$$
$$x_{3} = 14.3989663289532$$
$$x_{4} = 53.6688744988256$$
$$x_{5} = -35.8665161284835$$
$$x_{6} = -73.565627971561$$
$$x_{7} = -67.2824426643814$$
$$x_{8} = 75.6600230739542$$
$$x_{9} = 8.11578102177363$$
$$x_{10} = 89.7971900151083$$
$$x_{11} = -78.2780169519457$$
$$x_{12} = -65.7116463375865$$
$$x_{13} = -51.5744793964324$$
$$x_{14} = 17.540558982543$$
$$x_{15} = -93.9859802198946$$
$$x_{16} = -34.2957198016886$$
$$x_{17} = -92.4151838930998$$
$$x_{18} = 61.5228561328001$$
$$x_{19} = 58.3812634792103$$
$$x_{20} = 97.6511716490827$$
$$x_{21} = 81.9432083811338$$
$$x_{22} = -15.4461638801498$$
$$x_{23} = -12.30457122656$$
$$x_{24} = -42.1497014356631$$
$$x_{25} = 30.1069295969022$$
$$x_{26} = -86.1319985859202$$
$$x_{27} = -56.2868683768171$$
$$x_{28} = 15.9697626557481$$
$$x_{29} = -28.012534494509$$
$$x_{30} = 66.2352451131848$$
$$x_{31} = 0.261799387799149$$
$$x_{32} = 28.5361332701073$$
$$x_{33} = 44.2440965380563$$
$$x_{34} = -20.1585528605345$$
$$x_{35} = -64.1408500107916$$
$$x_{36} = -81.4196096055355$$
$$x_{37} = -13.8753675533549$$
$$x_{38} = 72.5184304203644$$
$$x_{39} = -21.7293491873294$$
$$x_{40} = 6.54498469497874$$
$$x_{41} = -29.5833308213039$$
$$x_{42} = 20.6821516361328$$
$$x_{43} = -23.3001455141243$$
$$x_{44} = -37.4373124552784$$
$$x_{45} = 74.0892267471593$$
$$x_{46} = 39.5317075576716$$
$$x_{47} = 86.6555973615185$$
$$x_{48} = 42.6733002112614$$
$$x_{49} = -4.45058959258554$$
$$x_{50} = -7.59218224617533$$
$$x_{51} = 36.3901149040818$$
$$x_{52} = 83.5140047079287$$
$$x_{53} = 50.5272818452358$$
$$x_{54} = -104.981554507459$$
$$x_{55} = 80.3724120543389$$
$$x_{56} = -71.9948316447661$$
$$x_{57} = 88.2263936883134$$
$$x_{58} = -1.30899693899575$$
$$x_{59} = 102.363560629467$$
$$x_{60} = 19.1113553093379$$
$$x_{61} = 23.8237442897226$$
$$x_{62} = -50.0036830696375$$
$$x_{63} = 31.6777259236971$$
$$x_{64} = -26.4417381677141$$
$$x_{65} = -100.269165527074$$
$$x_{66} = -6.02138591938044$$
$$x_{67} = -2230.26898466095$$
$$x_{68} = 94.5095789954929$$
$$x_{69} = 9.68657734856853$$
$$x_{70} = 67.8060414399797$$
$$x_{71} = -89.27359123951$$
$$x_{72} = -43.720497762458$$
$$x_{73} = -45.2912940892529$$
$$x_{74} = -95.5567765466895$$
$$x_{75} = -87.7027949127151$$
$$x_{76} = 96.0803753222878$$
$$x_{77} = 22.2529479629277$$
$$x_{78} = 1.83259571459405$$
$$x_{79} = -70.4240353179712$$
$$x_{80} = 64.6644487863899$$
$$x_{81} = 45.8148928648512$$
$$x_{82} = -48.4328867428426$$
$$x_{83} = -59.4284610304069$$
$$x_{84} = 59.9520598060052$$
$$x_{85} = -79.8488132787406$$
$$x_{86} = 37.9609112308767$$
значит надо решить уравнение:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Численное решение
$$x_{1} = 52.0980781720307$$
$$x_{2} = -57.857664703612$$
$$x_{3} = 14.3989663289532$$
$$x_{4} = 53.6688744988256$$
$$x_{5} = -35.8665161284835$$
$$x_{6} = -73.565627971561$$
$$x_{7} = -67.2824426643814$$
$$x_{8} = 75.6600230739542$$
$$x_{9} = 8.11578102177363$$
$$x_{10} = 89.7971900151083$$
$$x_{11} = -78.2780169519457$$
$$x_{12} = -65.7116463375865$$
$$x_{13} = -51.5744793964324$$
$$x_{14} = 17.540558982543$$
$$x_{15} = -93.9859802198946$$
$$x_{16} = -34.2957198016886$$
$$x_{17} = -92.4151838930998$$
$$x_{18} = 61.5228561328001$$
$$x_{19} = 58.3812634792103$$
$$x_{20} = 97.6511716490827$$
$$x_{21} = 81.9432083811338$$
$$x_{22} = -15.4461638801498$$
$$x_{23} = -12.30457122656$$
$$x_{24} = -42.1497014356631$$
$$x_{25} = 30.1069295969022$$
$$x_{26} = -86.1319985859202$$
$$x_{27} = -56.2868683768171$$
$$x_{28} = 15.9697626557481$$
$$x_{29} = -28.012534494509$$
$$x_{30} = 66.2352451131848$$
$$x_{31} = 0.261799387799149$$
$$x_{32} = 28.5361332701073$$
$$x_{33} = 44.2440965380563$$
$$x_{34} = -20.1585528605345$$
$$x_{35} = -64.1408500107916$$
$$x_{36} = -81.4196096055355$$
$$x_{37} = -13.8753675533549$$
$$x_{38} = 72.5184304203644$$
$$x_{39} = -21.7293491873294$$
$$x_{40} = 6.54498469497874$$
$$x_{41} = -29.5833308213039$$
$$x_{42} = 20.6821516361328$$
$$x_{43} = -23.3001455141243$$
$$x_{44} = -37.4373124552784$$
$$x_{45} = 74.0892267471593$$
$$x_{46} = 39.5317075576716$$
$$x_{47} = 86.6555973615185$$
$$x_{48} = 42.6733002112614$$
$$x_{49} = -4.45058959258554$$
$$x_{50} = -7.59218224617533$$
$$x_{51} = 36.3901149040818$$
$$x_{52} = 83.5140047079287$$
$$x_{53} = 50.5272818452358$$
$$x_{54} = -104.981554507459$$
$$x_{55} = 80.3724120543389$$
$$x_{56} = -71.9948316447661$$
$$x_{57} = 88.2263936883134$$
$$x_{58} = -1.30899693899575$$
$$x_{59} = 102.363560629467$$
$$x_{60} = 19.1113553093379$$
$$x_{61} = 23.8237442897226$$
$$x_{62} = -50.0036830696375$$
$$x_{63} = 31.6777259236971$$
$$x_{64} = -26.4417381677141$$
$$x_{65} = -100.269165527074$$
$$x_{66} = -6.02138591938044$$
$$x_{67} = -2230.26898466095$$
$$x_{68} = 94.5095789954929$$
$$x_{69} = 9.68657734856853$$
$$x_{70} = 67.8060414399797$$
$$x_{71} = -89.27359123951$$
$$x_{72} = -43.720497762458$$
$$x_{73} = -45.2912940892529$$
$$x_{74} = -95.5567765466895$$
$$x_{75} = -87.7027949127151$$
$$x_{76} = 96.0803753222878$$
$$x_{77} = 22.2529479629277$$
$$x_{78} = 1.83259571459405$$
$$x_{79} = -70.4240353179712$$
$$x_{80} = 64.6644487863899$$
$$x_{81} = 45.8148928648512$$
$$x_{82} = -48.4328867428426$$
$$x_{83} = -59.4284610304069$$
$$x_{84} = 59.9520598060052$$
$$x_{85} = -79.8488132787406$$
$$x_{86} = 37.9609112308767$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi / pi pi\ (----, 2*cos|- -- + --|) 6 \ 3 3 /
pi (--, -2) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 8 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{12}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 8 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{12}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{12}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*cos(2*x + pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График