Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sqrt(2)-x
-
(x-2)^2*e^(x-6)
- cos(5)
-
4*x^6-7*x^2+9*x+pi/4
-
Идентичные выражения
- четыре *x^ шесть - семь *x^ два + девять *x+pi/ четыре
- 4 умножить на x в степени 6 минус 7 умножить на x в квадрате плюс 9 умножить на x плюс число пи делить на 4
- четыре умножить на x в степени шесть минус семь умножить на x в степени два плюс девять умножить на x плюс число пи делить на четыре
- 4*x6-7*x2+9*x+pi/4
- 4*x⁶-7*x²+9*x+pi/4
- 4*x в степени 6-7*x в степени 2+9*x+pi/4
- 4x^6-7x^2+9x+pi/4
- 4x6-7x2+9x+pi/4
- 4*x^6-7*x^2+9*x+pi разделить на 4
-
Похожие выражения
- 4*x^6-7*x^2-9*x+pi/4
- 4*x^6-7*x^2+9*x-pi/4
- 4*x^6+7*x^2+9*x+pi/4
-
Что Вы имели ввиду?
- (4*x^6 - 7*x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*(x^6 - 7*x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*x*(6 - 7*x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*x^(6 - 7*x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*x^6 - (7*x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*x^6 - 7*(x^2 + 9*x + pi)/4
- 4*x^6 - 7*x^2 + 9*x + pi/4
Вы ввели:
4*x^6-7*x^2+9*x+pi/4
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 4*x^6-7*x^2+9*x+pi/4
Решение
Вы ввели
[src]
6 2 pi
f(x) = 4*x - 7*x + 9*x + --
4
$$f{\left(x \right)} = 4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}$$
f = 4*x^6 - 7*x^2 + 9*x + pi/4
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -0.0820326542046157$$
$$x_{2} = -1.34884674034828$$
$$x_{3} = -1.34884674034828$$
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = -0.0820326542046157$$
$$x_{2} = -1.34884674034828$$
$$x_{3} = -1.34884674034828$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$24 x^{5} - 14 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -0.990357543971191$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -0.990357543971191$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-0.990357543971191, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -0.990357543971191\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$24 x^{5} - 14 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -0.990357543971191$$
Зн. экстремумы в точках:
pi
(-0.990357543971191, -12.0047858826536 + --)
4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -0.990357543971191$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-0.990357543971191, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -0.990357543971191\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(60 x^{4} - 7\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}$$
$$x_{2} = \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}\right] \cup \left[\frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}, \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(60 x^{4} - 7\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}$$
$$x_{2} = \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}\right] \cup \left[\frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}, \frac{15^{\frac{3}{4}} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{7}}{30}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*x^6 - 7*x^2 + 9*x + pi/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = 4 x^{6} - 7 x^{2} - 9 x + \frac{\pi}{4}$$
- Нет
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = - 4 x^{6} + 7 x^{2} + 9 x - \frac{\pi}{4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = 4 x^{6} - 7 x^{2} - 9 x + \frac{\pi}{4}$$
- Нет
$$4 x^{6} - 7 x^{2} + 9 x + \frac{\pi}{4} = - 4 x^{6} + 7 x^{2} + 9 x - \frac{\pi}{4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График