Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
3*x^2-5*x+2
- (|x+3|)
- log(1)/3*(x)
- sqrt(x)^2-6*x+8
- Производная:
-
atan((1+x)/(1-x))
-
Идентичные выражения
- atan((один +x)/(один -x))
- арктангенс от ((1 плюс x) делить на (1 минус x))
- арктангенс от ((один плюс x) делить на (один минус x))
- atan1+x/1-x
- atan((1+x) разделить на (1-x))
-
Похожие выражения
- atan((1-x)/(1-x))
- atan((1+x)/(1+x))
- arctan((1+x)/(1-x))
График функции y = atan((1+x)/(1-x))
Решение
Вы ввели
[src]
/1 + x\
f(x) = atan|-----|
\1 - x/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
f = atan((x + 1)/(1 - x))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{1}{- x + 1} + \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{1}{- x + 1} + \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -0.5$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -0.5$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -0.5$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -0.5$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan((1 + x)/(1 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График