Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2*x^3-6*x^2-4
- 3*log(x)/sqrt(x)
-
5/2*x
- x/tan(x)
-
Идентичные выражения
- atan(один /(x- два)^ два)
- арктангенс от (1 делить на (x минус 2) в квадрате )
- арктангенс от (один делить на (x минус два) в степени два)
- atan(1/(x-2)2)
- atan1/x-22
- atan(1/(x-2)²)
- atan(1/(x-2) в степени 2)
- atan1/x-2^2
- atan(1 разделить на (x-2)^2)
-
Похожие выражения
- atan(1/(x+2)^2)
- arctan(1/(x-2)^2)
График функции y = atan(1/(x-2)^2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 1 \
f(x) = atan|1*--------|
| 2|
\ (x - 2) /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)}$$
f = atan(1/(x - 1*2)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{- 2 x + 4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{- 2 x + 4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2, \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cdot \left(3 - \frac{4}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) \left(x - 2\right)^{4}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2, \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3} + 2\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(1/(x - 1*2)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\left(- x - 2\right)^{2}} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\left(- x - 2\right)^{2}} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\left(- x - 2\right)^{2}} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{\left(- x - 2\right)^{2}} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График