Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 3^(x-18)=(1/9)
-
Уравнение cos(2x)=cos(x)
-
Уравнение 2x^3-x^2-1=0
- Уравнение z^3=-3-3*i
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x+3*y=4
- 4*x-2*y=-8
- 6*x-3*y=-15
- 9*x-14*y=11
- Интеграл d{x}:
-
z^3
- Производная:
-
z^3
-
Идентичные выражения
- z^ три =- три - три *i
- z в кубе равно минус 3 минус 3 умножить на i
- z в степени три равно минус три минус три умножить на i
- z3=-3-3*i
- z³=-3-3*i
- z в степени 3=-3-3*i
- z^3=-3-3i
- z3=-3-3i
-
Похожие выражения
- z^(3)-1=0
- z^2-3-3isqrt(3)=0
- z^3=-3+3*i
- z^3=+3-3*i
z^3=-3-3*i уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} = -3 - 3 i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-3 - 3 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-3 - 3 i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = (-3 - 3*i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -3 - 3 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -3 - 3 i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-3 - 3 i\right)}{6}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-3 - 3 i\right)}{6}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4}$$
$$z^{3} = -3 - 3 i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-3 - 3 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-3 - 3 i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = -3+3*i^1/3
Получим ответ: z = (-3 - 3*i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -3 - 3 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -3 - 3 i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-3 - 3 i\right)}{6}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-3 - 3 i\right)}{6}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{4}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 3 + 3 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 3 + 3 i$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 3 + 3 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 3 + 3 i$$
График
Быстрый ответ
[src]
2/3 3 ___ 2/3 3 ___
2 *\/ 3 I*2 *\/ 3
z_1 = ---------- - ------------
2 2
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}$$
2/3 / 5/6 3 ___\ 2/3 /3 ___ 5/6\
2 *\3 - \/ 3 / I*2 *\\/ 3 + 3 /
z_2 = ------------------- + ---------------------
4 4
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4}$$
2/3 / 3 ___ 5/6\ 2/3 /3 ___ 5/6\
2 *\- \/ 3 - 3 / I*2 *\\/ 3 - 3 /
z_3 = --------------------- + ---------------------
4 4
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- 3^{\frac{5}{6}} - \sqrt[3]{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- 3^{\frac{5}{6}} + \sqrt[3]{3}\right)}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/3 3 ___ 2/3 3 ___ 2/3 / 5/6 3 ___\ 2/3 /3 ___ 5/6\ 2/3 / 3 ___ 5/6\ 2/3 /3 ___ 5/6\
2 *\/ 3 I*2 *\/ 3 2 *\3 - \/ 3 / I*2 *\\/ 3 + 3 / 2 *\- \/ 3 - 3 / I*2 *\\/ 3 - 3 /
---------- - ------------ + ------------------- + --------------------- + --------------------- + ---------------------
2 2 4 4 4 4
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- 3^{\frac{5}{6}} - \sqrt[3]{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- 3^{\frac{5}{6}} + \sqrt[3]{3}\right)}{4}\right)$$
=
2/3 3 ___ 2/3 / 5/6 3 ___\ 2/3 / 3 ___ 5/6\ 2/3 3 ___ 2/3 /3 ___ 5/6\ 2/3 /3 ___ 5/6\
2 *\/ 3 2 *\3 - \/ 3 / 2 *\- \/ 3 - 3 / I*2 *\/ 3 I*2 *\\/ 3 + 3 / I*2 *\\/ 3 - 3 /
---------- + ------------------- + --------------------- - ------------ + --------------------- + ---------------------
2 4 4 2 4 4
$$\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- 3^{\frac{5}{6}} - \sqrt[3]{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- 3^{\frac{5}{6}} + \sqrt[3]{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4}$$
произведение
2/3 3 ___ 2/3 3 ___ 2/3 / 5/6 3 ___\ 2/3 /3 ___ 5/6\ 2/3 / 3 ___ 5/6\ 2/3 /3 ___ 5/6\
2 *\/ 3 I*2 *\/ 3 2 *\3 - \/ 3 / I*2 *\\/ 3 + 3 / 2 *\- \/ 3 - 3 / I*2 *\\/ 3 - 3 /
---------- - ------------ * ------------------- + --------------------- * --------------------- + ---------------------
2 2 4 4 4 4
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{3} i}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(\sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}}\right)}{4}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- 3^{\frac{5}{6}} - \sqrt[3]{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- 3^{\frac{5}{6}} + \sqrt[3]{3}\right)}{4}\right)$$
=
-3 - 3*I
$$-3 - 3 i$$
Численный ответ
[src]
z1 = 1.14471424255333 - 1.14471424255333*i
z2 = -1.56370873540171 - 0.418994492848381*i
z3 = 0.418994492848381 + 1.56370873540171*i
z3 = 0.418994492848381 + 1.56370873540171*i