Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (х+3)(х-1)-(3х+1)(х-7)=х(х+18)
-
Уравнение (x+1)(x-2)-(4x-3)(x+5)=x(x-9)
-
Уравнение 3х^2-7х+2=0
-
Уравнение sin(x)=0,6
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- 4*x+16*y=12
- 9*x-14*y=3
- Интеграл d{x}:
-
z^3
- Производная:
-
z^3
-
Идентичные выражения
- z^ три =- двадцать семь
- z в кубе равно минус 27
- z в степени три равно минус двадцать семь
- z3=-27
- z³=-27
- z в степени 3=-27
-
Похожие выражения
- z^3=+27
- (7х-2)*(7х+1,4)=0
z^3=-27 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} = -27$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
или
$$z = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = 3*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z^{3} = -27$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
или
$$z = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = -3*1^1/3
Получим ответ: z = 3*(-1)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
-3 + - - --------- + - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-3\right) + \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
3 3*I*\/ 3 3 3*I*\/ 3
-3 * - - --------- * - + ---------
2 2 2 2
$$\left(-3\right) * \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-27
$$-27$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -3
$$z_{1} = -3$$
___
3 3*I*\/ 3
z_2 = - - ---------
2 2
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
___
3 3*I*\/ 3
z_3 = - + ---------
2 2
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -3.0
z2 = 1.5 + 2.59807621135332*i
z3 = 1.5 - 2.59807621135332*i
z3 = 1.5 - 2.59807621135332*i
График