Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение |х|=-1,8
- Уравнение -(1/5)*x^2+45=0
- Уравнение z^3=-2*i
-
Уравнение 4*x-4=x+5
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x+3*y=9
- 4*x-4*y=-12
- -7*x+5*y=11
- 9*x+15*y=6
- Интеграл d{x}:
-
z^3
- Производная:
-
z^3
-
Идентичные выражения
- z^ три =- два *i
- z в кубе равно минус 2 умножить на i
- z в степени три равно минус два умножить на i
- z3=-2*i
- z³=-2*i
- z в степени 3=-2*i
- z^3=-2i
- z3=-2i
-
Похожие выражения
- z^2-(2i-5)z+5-5i=0
- X^2+(5-2i)x+5(1-i)=0
- z^3=+2*i
- z^2+(5-2i)z+5(1-i)=0
- z^2-(3-2i)z+(5-5i)=0
z^3=-2*i уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} = - 2 i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 2 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = 2^(1/3)*(-i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = - 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 i$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z^{3} = - 2 i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 2 i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = 2^1/3-i^1/3
Получим ответ: z = 2^(1/3)*(-i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = - 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 i$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 2 i$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 2 i$$
График
Быстрый ответ
[src]
3 ___ z_1 = I*\/ 2
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} i$$
3 ___ 3 ___ ___
I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
z_2 = - ------- - -----------
2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
3 ___ ___ 3 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2
z_3 = ----------- - -------
2 2
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2
I*\/ 2 + - ------- - ----------- + ----------- - -------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{2} i\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2
I*\/ 2 * - ------- - ----------- * ----------- - -------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{2} i\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}\right)$$
=
-2*I
$$- 2 i$$
Численный ответ
[src]
z1 = 1.25992104989487*i
z2 = -1.09112363597172 - 0.629960524947437*i
z3 = 1.09112363597172 - 0.629960524947437*i
z3 = 1.09112363597172 - 0.629960524947437*i