Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение sin(x)-2cos(x)=0
- Уравнение sin2x-1=0
- Уравнение 2х+1/3=5х-3/2+7-х/6
-
Уравнение x^3-2*x-5=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 9*x-14*y=3
- 4*x-10*y=3
- 4*x-3*y=4
- 4*x+4*y=0
- Разложить многочлен на множители:
- x^6+1
-
Идентичные выражения
- x^ шесть + один = ноль
- x в степени 6 плюс 1 равно 0
- x в степени шесть плюс один равно ноль
- x6+1=0
- x⁶+1=0
- x^6+1=O
-
Похожие выражения
- x^6-1=0
x^6+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$x^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___
I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3
-I + I + - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + -----
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- i\right) + \left(i\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___
I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3
-I * I * - - - ----- * - - ----- * ----- - - * - + -----
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- i\right) * \left(i\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -I
$$x_{1} = - i$$
x_2 = I
$$x_{2} = i$$
___
I \/ 3
x_3 = - - - -----
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
x_4 = - - -----
2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
\/ 3 I
x_5 = ----- - -
2 2
$$x_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
x_6 = - + -----
2 2
$$x_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.866025403784439 - 0.5*i
x2 = -1.0*i
x3 = -0.866025403784439 - 0.5*i
x4 = 0.866025403784439 + 0.5*i
x5 = 1.0*i
x6 = -0.866025403784439 + 0.5*i
x6 = -0.866025403784439 + 0.5*i
График