Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^6-1=0
-
Уравнение x²=-9
-
Уравнение 14-4*x^2-x=0
-
Уравнение 25x^2=1
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- Разложить многочлен на множители:
- x^6-1
- Производная:
-
x^6-1
-
Идентичные выражения
- x^ шесть - один = ноль
- x в степени 6 минус 1 равно 0
- x в степени шесть минус один равно ноль
- x6-1=0
- x⁶-1=0
- x^6-1=O
-
Похожие выражения
- x^6+1=0
x^6-1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = 1$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{6} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = 1$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -1
$$x_{1} = -1$$
x_2 = 1
$$x_{2} = 1$$
___
1 I*\/ 3
x_3 = - - - -------
2 2
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_4 = - - + -------
2 2
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_5 = - - -------
2 2
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_6 = - + -------
2 2
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) + \left(1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 * 1 * - - - ------- * - - + ------- * - - ------- * - + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) * \left(1\right) * \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.5 - 0.866025403784439*i
x2 = 1.0
x3 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x4 = 0.5 + 0.866025403784439*i
x5 = -1.0
x6 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x6 = -0.5 + 0.866025403784439*i
График