Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение cos((pi*(x-7))/3)=1/2
-
Уравнение |2x-3|=1
-
Уравнение x-5/8=5/8
-
Уравнение x^5=-243
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x-7*y=-11
- 3*x+2*y=-6
- 5*x-7*y=14
- -2*x+9*y=13
- График функции y =:
-
x^5
- Интеграл d{x}:
-
x^5
- Предел функции:
-
x^5
-
Идентичные выражения
- x^ пять =- двести сорок три
- x в степени 5 равно минус 243
- x в степени пять равно минус двести сорок три
- x5=-243
- x⁵=-243
-
Похожие выражения
- (15y-24)*(3y-0,9)=0
- (15y-24)(3y-0,9)=0
- x^5=+243
x^5=-243 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{5} = -243$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-243}$$
или
$$x = 3 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = -243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$x_{5} = - 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$x^{5} = -243$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-243}$$
или
$$x = 3 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -3*1^1/5
Получим ответ: x = 3*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = -243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$x_{5} = - 3 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -3
$$x_{1} = -3$$
___________
___ / ___ / ___ ____\
3 3*\/ 5 3*I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 /
x_2 = - - ------- + -------------------------------------
4 4 8
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3 i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}$$
/ ______________ ______________ _______________ _______________\
___ | / ___ / ___ / ___ / ___ |
3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 |
x_3 = - + ------- + I*|- ------------------- - ------------------- - -------------------- + --------------------|
4 4 \ 16 16 16 16 /
$$x_{3} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
/ ______________ ______________ _______________ _______________\
___ | / ___ / ___ / ___ / ___ |
3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 |
x_4 = - - ------- + I*|- ------------------- + ------------------- + -------------------- + --------------------|
4 4 \ 16 16 16 16 /
$$x_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
______________
___ / ___
3 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_5 = - + ------- + ---------------------
4 4 4
$$x_{5} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___________ / ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________
___ / ___ / ___ ____\ ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ / ___
3 3*\/ 5 3*I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / 3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 | 3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 | 3 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-3 + - - ------- + ------------------------------------- + - + ------- + I*|- ------------------- - ------------------- - -------------------- + --------------------| + - - ------- + I*|- ------------------- + ------------------- + -------------------- + --------------------| + - + ------- + ---------------------
4 4 8 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 4
$$\left(-3\right) + \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3 i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) + \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
/ ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________ ___________ | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | / ___ / ___ / ___ ____\ | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 | | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 | 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5 3*I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / I*|- ------------------- - ------------------- - -------------------- + --------------------| + I*|- ------------------- + ------------------- + -------------------- + --------------------| + --------------------- + ------------------------------------- \ 16 16 16 16 / \ 16 16 16 16 / 4 8
$$\frac{3 i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8} + i \left(- \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right) + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
произведение
___________ / ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________
___ / ___ / ___ ____\ ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ / ___
3 3*\/ 5 3*I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / 3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 | 3 3*\/ 5 | 3*\/ 10 - 2*\/ 5 3*\/ 10 + 2*\/ 5 3*\/ 50 - 10*\/ 5 3*\/ 50 + 10*\/ 5 | 3 3*\/ 5 3*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-3 * - - ------- + ------------------------------------- * - + ------- + I*|- ------------------- - ------------------- - -------------------- + --------------------| * - - ------- + I*|- ------------------- + ------------------- + -------------------- + --------------------| * - + ------- + ---------------------
4 4 8 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 4
$$\left(-3\right) * \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3 i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}\right) * \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) * \left(- \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} + i \left(- \frac{3 \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{3 \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{3 \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) * \left(\frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
_______________ _______________ ______________
/ ___ / ___ / ___
243*I*\/ 50 + 10*\/ 5 243*I*\/ 50 - 10*\/ 5 1215*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-243 - ------------------------ + ------------------------ + ------------------------
32 64 64
$$-243 - \frac{243 i \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{32} + \frac{243 i \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{64} + \frac{1215 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{64}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 2.42705098312484 - 1.76335575687742*i
x2 = 2.42705098312484 + 1.76335575687742*i
x3 = -0.927050983124842 - 2.85316954888546*i
x4 = -3.0
x5 = -0.927050983124842 + 2.85316954888546*i
x5 = -0.927050983124842 + 2.85316954888546*i
График