x^5+x^3=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{5} + x^{3} = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2}} = -1$$
Т.к. степень в уравнении равна = -2 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$\frac{1}{z^{2}} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 2 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(2 p \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \pi N - \frac{\pi}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - i$$
$$x_{2} = i$$