x^5-4*x=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{5} - 4 x = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{4}} = \frac{1}{4}$$
Т.к. степень в уравнении равна = -4 - содержит чётное число -4 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -4-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{4}}}} = \sqrt{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{\left(1 x + 0\right)^{4}}}} = - \sqrt{2}$$
или
$$x = \sqrt{2}$$
$$x = - \sqrt{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = sqrt2

Получим ответ: x = sqrt(2)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = -sqrt2

Получим ответ: x = -sqrt(2)
или
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$\frac{1}{z^{4}} = \frac{1}{4}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 4 i p}}{r^{4}} = \frac{1}{4}$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{2}$$
$$z_{2} = \sqrt{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt{2} i$$