Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
(2*x^3)-(9*x^2)+(12*x)+1
4/x-1/x^2
x^5-4*x
График функции y = x^5-4*x
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
$$x_{3} = 1.4142135623731$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ 3/4 ___ 3/4
-\/ 2 *5 16*\/ 2 *5
(------------, -------------)
5 25 ___ 3/4 ___ 3/4
\/ 2 *5 -16*\/ 2 *5
(----------, ---------------)
5 25 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}, \frac{\sqrt{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$20 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$20 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 4 x\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - 4*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 4 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 4 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 4 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 4 x}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 4 x = - x^{5} + 4 x$$
- Нет
$$x^{5} - 4 x = x^{5} - 4 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 4 x = - x^{5} + 4 x$$
- Нет
$$x^{5} - 4 x = x^{5} - 4 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График