Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Уравнение:
Уравнение x^2-4*x+20=0
Уравнение Sin(x/2-pi/4)=0
Уравнение 3^x-1=9
Уравнение x^9=-1
Выразите {x} через y в уравнении:
3*x-9*y=18
-3*x-2*y=12
-7*x+2*y=-9
-4*x-2*y=-8
Производная:
x^9
-1
Интеграл d{x}:
x^9
-1
Предел функции:
x^9
График функции y =:
-1
Идентичные выражения
x^ девять =- один
x в степени 9 равно минус 1
x в степени девять равно минус один
x9=-1
x⁹=-1
Похожие выражения
x^(9/10)=1
x^9=+1

x^9=-1 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

Решение

Вы ввели [src]

 9     
x  = -1

$$x^{9} = -1$$

Упростить

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = -1$$
Т.к. степень в уравнении равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{-1}$$
или
$$x = \sqrt[9]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = -1^1/9

Получим ответ: x = (-1)^(1/9)

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{9} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9} + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{9} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = - \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{9} = - \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$

График

Построить график f1(x)

Построить график f2(x)

Быстрый ответ [src]

x_1 = -1

$$x_{1} = -1$$

Упростить

              ___
      1   I*\/ 3 
x_2 = - + -------
      2      2

$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Упростить

             /pi\      /pi\
x_3 = - I*sin|--| + cos|--|
             \9 /      \9 /

$$x_{3} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Упростить

                    /   /pi\                          \
                    |cos|--|     ___                  |
           /pi\     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|
x_4 = - sin|--| + I*|------- - ----- + cos|--|*cos|--||
           \18/     \   2        4        \9 /    \18//

$$x_{4} = - \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

Упростить

            /   /pi\                          \
            |cos|--|     ___                  |
      1     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|
x_5 = - + I*|------- - ----- - cos|--|*cos|--||
      2     \   2        4        \9 /    \18//

$$x_{5} = \frac{1}{2} + i \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$

Упростить

           /5*pi\        /2*pi\
x_6 = - sin|----| + I*sin|----|
           \ 18 /        \ 9  /

$$x_{6} = - \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

Упростить

           /pi\        /pi\
x_7 = - sin|--| - I*cos|--|
           \18/        \18/

$$x_{7} = - \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$

Упростить

           /pi\      /pi\
x_8 = I*sin|--| + cos|--|
           \9 /      \9 /

$$x_{8} = \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Упростить

           /2*pi\        /2*pi\
x_9 = - cos|----| - I*sin|----|
           \ 9  /        \ 9  /

$$x_{9} = - \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

Упростить

Сумма и произведение корней [src]

сумма

                                                         /   /pi\                          \         /   /pi\                          \                                                                                                      
             ___                                         |cos|--|     ___                  |         |cos|--|     ___                  |                                                                                                      
     1   I*\/ 3           /pi\      /pi\        /pi\     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|   1     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|        /5*pi\        /2*pi\        /pi\        /pi\        /pi\      /pi\        /2*pi\        /2*pi\
-1 + - + ------- + - I*sin|--| + cos|--| + - sin|--| + I*|------- - ----- + cos|--|*cos|--|| + - + I*|------- - ----- - cos|--|*cos|--|| + - sin|----| + I*sin|----| + - sin|--| - I*cos|--| + I*sin|--| + cos|--| + - cos|----| - I*sin|----|
     2      2             \9 /      \9 /        \18/     \   2        4        \9 /    \18//   2     \   2        4        \9 /    \18//        \ 18 /        \ 9  /        \18/        \18/        \9 /      \9 /        \ 9  /        \ 9  /

$$\left(-1\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + i \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(- \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(- \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(- \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$

                                                    /   /pi\                          \     /   /pi\                          \                      
                                                    |cos|--|     ___                  |     |cos|--|     ___                  |       ___            
     /2*pi\      /5*pi\        /pi\        /pi\     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|   I*\/ 3         /pi\
- cos|----| - sin|----| - 2*sin|--| + 2*cos|--| + I*|------- - ----- + cos|--|*cos|--|| + I*|------- - ----- - cos|--|*cos|--|| + ------- - I*cos|--|
     \ 9  /      \ 18 /        \18/        \9 /     \   2        4        \9 /    \18//     \   2        4        \9 /    \18//      2           \18/

$$- \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + \frac{\sqrt{3} i}{2} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)$$

Упростить

произведение

                                                         /   /pi\                          \         /   /pi\                          \                                                                                                      
             ___                                         |cos|--|     ___                  |         |cos|--|     ___                  |                                                                                                      
     1   I*\/ 3           /pi\      /pi\        /pi\     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|   1     |   \18/   \/ 3       /pi\    /pi\|        /5*pi\        /2*pi\        /pi\        /pi\        /pi\      /pi\        /2*pi\        /2*pi\
-1 * - + ------- * - I*sin|--| + cos|--| * - sin|--| + I*|------- - ----- + cos|--|*cos|--|| * - + I*|------- - ----- - cos|--|*cos|--|| * - sin|----| + I*sin|----| * - sin|--| - I*cos|--| * I*sin|--| + cos|--| * - cos|----| - I*sin|----|
     2      2             \9 /      \9 /        \18/     \   2        4        \9 /    \18//   2     \   2        4        \9 /    \18//        \ 18 /        \ 9  /        \18/        \18/        \9 /      \9 /        \ 9  /        \ 9  /

$$\left(-1\right) * \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(- \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) * \left(\frac{1}{2} + i \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) * \left(- \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(- \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) * \left(\cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(- \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$

                                                                                                                                                                            2*pi*I 
                                                                                                                                                                            ------ 
 /        ___\ /      /  ___        /pi\        /pi\    /pi\\\ /     /pi\     /    ___        /pi\        /pi\    /pi\\\ /     /pi\      /pi\\ /       /2*pi\      /5*pi\\    9    
-\1 + I*\/ 3 /*|2 - I*|\/ 3  - 2*cos|--| + 4*cos|--|*cos|--|||*|4*sin|--| - I*|- \/ 3  + 2*cos|--| + 4*cos|--|*cos|--|||*|I*cos|--| + sin|--||*|- I*sin|----| + sin|----||*e       
               \      \             \18/        \9 /    \18/// \     \18/     \               \18/        \9 /    \18/// \     \18/      \18// \       \ 9  /      \ 18 //         
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                         32

$$- \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right) \left(2 - i \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + \sqrt{3} + 4 \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) \left(\sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(4 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - i \left(- \sqrt{3} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) \left(\sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) e^{\frac{2 i \pi}{9}}}{32}$$

Упростить

Численный ответ [src]

x1 = 0.5 + 0.866025403784439*i

x2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

x3 = -0.17364817766693 + 0.984807753012208*i

x4 = -0.766044443118978 + 0.642787609686539*i

x5 = -0.766044443118978 - 0.642787609686539*i

x6 = -0.17364817766693 - 0.984807753012208*i

x7 = 0.939692620785908 - 0.342020143325669*i

x8 = -1.0

x9 = 0.939692620785908 + 0.342020143325669*i

x9 = 0.939692620785908 + 0.342020143325669*i

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

x^9=-1 уравнение

Численное решение:

Решение