x^4+8=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{4} + 8 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -8 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$