x^4-8=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{4} - 8 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
или
$$x = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x = - 2^{\frac{3}{4}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = 2^3/4

Получим ответ: x = 2^(3/4)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = -2^3/4

Получим ответ: x = -2^(3/4)
или
$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$x_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$