Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^2-3-3*sqrt(x)^2-4=0
-
Уравнение x^4-x^2+1=0
-
Уравнение -sin2x=0
-
Уравнение sin((x+pi)/3)=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 3*x+2*y=-6
- 5*x-7*y=14
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- График функции y =:
-
x^4-x^2+1
- Разложить многочлен на множители:
- x^4-x^2+1
- Производная:
-
x^4-x^2+1
-
Идентичные выражения
- x^ четыре -x^ два + один = ноль
- x в степени 4 минус x в квадрате плюс 1 равно 0
- x в степени четыре минус x в степени два плюс один равно ноль
- x4-x2+1=0
- x⁴-x²+1=0
- x в степени 4-x в степени 2+1=0
- x^4-x^2+1=O
-
Похожие выражения
- x^4-x^2-1=0
- (3x^4)-(x^2)+18=0
- x^4+x^2+1=0
x^4-x^2+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} - x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-1\right)^{2} = -3$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x^{4} - x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-1\right)^{2} = -3$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3 - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + ----- 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3 - - - ----- * - - ----- * ----- - - * - + ----- 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Быстрый ответ
[src]
___
I \/ 3
x_1 = - - - -----
2 2
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
x_2 = - - -----
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
\/ 3 I
x_3 = ----- - -
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
x_4 = - + -----
2 2
$$x_{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.866025403784439 + 0.5*i
x2 = -0.866025403784439 - 0.5*i
x3 = 0.866025403784439 + 0.5*i
x4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
x4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
График