Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 4-2(3+4х)=18
-
Уравнение x^4-3*x^2+1=0
-
Уравнение 4*x/5=(x-9)/2
-
Уравнение sqrt(x+7)-1=x
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 3*x+2*y=-6
- 5*x-7*y=14
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- Разложить многочлен на множители:
- x^4-3*x^2+1
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - три *x^ два + один = ноль
- x в степени 4 минус 3 умножить на x в квадрате плюс 1 равно 0
- x в степени четыре минус три умножить на x в степени два плюс один равно ноль
- x4-3*x2+1=0
- x⁴-3*x²+1=0
- x в степени 4-3*x в степени 2+1=0
- x^4-3x^2+1=0
- x4-3x2+1=0
- x^4-3*x^2+1=O
-
Похожие выражения
- x^4-3x^2+16=0
- x^4+3*x^2+1=0
- x^4-3x^2+17=0
- x^4-3*x^2-1=0
x^4-3*x^2+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-3\right)^{2} = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x^{4} - 3 x^{2} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + \left(-3\right)^{2} = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{\left(-1\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
Быстрый ответ
[src]
___
1 \/ 5
x_1 = - - + -----
2 2
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
___
1 \/ 5
x_2 = - - -----
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
___
1 \/ 5
x_3 = - + -----
2 2
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
___
1 \/ 5
x_4 = - - - -----
2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ 1 \/ 5 1 \/ 5 1 \/ 5 1 \/ 5 - - + ----- + - - ----- + - + ----- + - - - ----- 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ 1 \/ 5 1 \/ 5 1 \/ 5 1 \/ 5 - - + ----- * - - ----- * - + ----- * - - - ----- 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.618033988749895
x2 = 1.61803398874989
x3 = 0.618033988749895
x4 = -1.61803398874989
x4 = -1.61803398874989
График