Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (8-4х)(-х+2,5)=0
- Уравнение 7х+9=4х+3
- Уравнение (2х+6)(7-4х)=(2-х)(8х+1)+15
-
Уравнение x²-3x-4=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x-7*y=11
- 19*x-14*y=17
- 19*x+14*y=17
- 3*x-4*y=12
-
Идентичные выражения
- x^ четыре -3x^ два + шестнадцать = ноль
- x в степени 4 минус 3x в квадрате плюс 16 равно 0
- x в степени четыре минус 3x в степени два плюс шестнадцать равно ноль
- x4-3x2+16=0
- x⁴-3x²+16=0
- x в степени 4-3x в степени 2+16=0
- x^4-3x^2+16=O
-
Похожие выражения
- x^4+3x^2+16=0
- x^4-3x^2-16=0
x^4-3x^2+16=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} - 3 x^{2} + 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 16 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 16$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 16 + \left(-3\right)^{2} = -55$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x^{4} - 3 x^{2} + 16 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 3 v + 16 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 16$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 16 + \left(-3\right)^{2} = -55$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{55} i}{2}}$$
Быстрый ответ
[src]
/ / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /|
x_1 = - 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{1} = - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /|
x_2 = - 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /|
x_3 = 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{3} = 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /|
x_4 = 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /|
- 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------| + - 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------| + 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------| + 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 /
$$\left(- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
/ / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\
| |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 || | |\/ 55 ||
|atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------|| |atan|------||
| \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /| | \ 3 /|
- 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------| * - 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------| * 2*cos|------------| - 2*I*sin|------------| * 2*cos|------------| + 2*I*sin|------------|
\ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 /
$$\left(- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(- 2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
/ ____\
|\/ 55 |
/ ____\ I*atan|------|
|3 I*\/ 55 | \ 3 /
16*|- - --------|*e
\8 8 /
$$16 \cdot \left(\frac{3}{8} - \frac{\sqrt{55} i}{8}\right) e^{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{55}}{3} \right)}}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.6583123951777 - 1.11803398874989*i
x2 = -1.6583123951777 - 1.11803398874989*i
x3 = -1.6583123951777 + 1.11803398874989*i
x4 = 1.6583123951777 + 1.11803398874989*i
x4 = 1.6583123951777 + 1.11803398874989*i
График