Дифференциальное уравнение xy`-y=y^3

Step

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- \left(y^{2}{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3} + y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(y \right)} + \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$