Производная y*sin(y^2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = y$; найдём $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $y$ получим $1$

   $g{\left(y \right)} = \sin{\left(y^{2} \right)}$; найдём $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Заменим $u = y^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d y} y^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $y^{2}$ получим $2 y$

      В результате последовательности правил:

      $2 y \cos{\left(y^{2} \right)}$

   В результате: $2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}$

Ответ:

$2 y^{2} \cos{\left(y^{2} \right)} + \sin{\left(y^{2} \right)}$