Производная x^3*e^(4*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   $g{\left(x \right)} = e^{4 x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $4 e^{4 x}$

   В результате: $4 x^{3} e^{4 x} + 3 x^{2} e^{4 x}$

2. Теперь упростим:

   $x^{2} \cdot \left(4 x + 3\right) e^{4 x}$

Ответ:

$x^{2} \cdot \left(4 x + 3\right) e^{4 x}$