Производная x^2*sin(1-x)^(3)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(1 - x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(1 - x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(1 - x \right)}$:

      1. Заменим $u = 1 - x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

         1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-1$

            В результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $- \cos{\left(x - 1 \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 3 \sin^{2}{\left(1 - x \right)} \cos{\left(x - 1 \right)}$

   В результате: $- 3 x^{2} \sin^{2}{\left(1 - x \right)} \cos{\left(x - 1 \right)} + 2 x \sin^{3}{\left(1 - x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- x \left(3 x \cos{\left(x - 1 \right)} + 2 \sin{\left(x - 1 \right)}\right) \sin^{2}{\left(x - 1 \right)}$

Ответ:

$- x \left(3 x \cos{\left(x - 1 \right)} + 2 \sin{\left(x - 1 \right)}\right) \sin^{2}{\left(x - 1 \right)}$