Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^2*log(x)
Производная sqrt(x+4)
Производная cot(pi*x/2)
Производная 2^x-1
Идентичные выражения
x^ два *cot(x/ восемь)
x в квадрате умножить на котангенс от (x делить на 8)
x в степени два умножить на котангенс от (x делить на восемь)
x2*cot(x/8)
x2*cotx/8
x²*cot(x/8)
x в степени 2*cot(x/8)
x^2cot(x/8)
x2cot(x/8)
x2cotx/8
x^2cotx/8
x^2*cot(x разделить на 8)

Производная функции/ x^2*cot(x/8)

Производная x^2*cot(x/8)

Решение

Вы ввели [src]

 2    /x\
x *cot|-|
      \8/

$$x^{2} \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$$

d / 2    /x\\
--|x *cot|-||
dx\      \8//

$$\frac{d}{d x} x^{2} \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x^{2}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
$g{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\frac{x}{8} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{8} \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{8} \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(\frac{x}{8} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{8} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{8} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{8} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{8}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{8}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{8}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{8}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{8}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{8}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\frac{x}{8} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{8} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{8} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{8} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{x}{8}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{8}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{8}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{x}{8}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{8}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{8}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}$
В результате: $- \frac{x^{2} \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}} + 2 x \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{x \left(- x + 8 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}$

Ответ:

$\frac{x \left(- x + 8 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)}{8 \sin^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   /         2/x\\             
   |      cot |-||             
 2 |  1       \8/|          /x\
x *|- - - -------| + 2*x*cot|-|
   \  8      8   /          \8/

$$x^{2} \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{8} - \frac{1}{8}\right) + 2 x \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

             /       2/x\\    2 /       2/x\\    /x\
           x*|1 + cot |-||   x *|1 + cot |-||*cot|-|
     /x\     \        \8//      \        \8//    \8/
2*cot|-| - --------------- + -----------------------
     \8/          2                     32

$$\frac{x^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}}{32} - \frac{x \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} + 1\right)}{2} + 2 \cot{\left(\frac{x}{8} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

              2/x\    2 /       2/x\\ /         2/x\\        /       2/x\\    /x\
-192 - 192*cot |-| - x *|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-|| + 48*x*|1 + cot |-||*cot|-|
               \8/      \        \8// \          \8//        \        \8//    \8/
---------------------------------------------------------------------------------
                                       256

$$\frac{- x^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} + 1\right) + 48 x \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{8} \right)} - 192 \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)} - 192}{256}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная x^2*cot(x/8)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2