Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sin(x)-1
Производная sin(x)/5
Производная (3*x^2-48*x+48)*e^x-48
Производная (3*x^2-x7)/(2*x5)
Идентичные выражения
(x^ два + три *x+ один)/(x^ два +x+ один)
(x в квадрате плюс 3 умножить на x плюс 1) делить на (x в квадрате плюс x плюс 1)
(x в степени два плюс три умножить на x плюс один) делить на (x в степени два плюс x плюс один)
(x2+3*x+1)/(x2+x+1)
x2+3*x+1/x2+x+1
(x²+3*x+1)/(x²+x+1)
(x в степени 2+3*x+1)/(x в степени 2+x+1)
(x^2+3x+1)/(x^2+x+1)
(x2+3x+1)/(x2+x+1)
x2+3x+1/x2+x+1
x^2+3x+1/x^2+x+1
(x^2+3*x+1) разделить на (x^2+x+1)
Похожие выражения
(x^2+3*x+1)/(x^2+x-1)
(x^2-3*x+1)/(x^2+x+1)
(x^2+3*x-1)/(x^2+x+1)
(-x^2+3*x+1)/(x^2+x+1)
(x^2+3*x+1)/(x^2-x+1)

Производная функции/ (x^2+3*x+1)/(x^2+x+1)

Производная (x^2+3*x+1)/(x^2+x+1)

Решение

Вы ввели [src]

 2          
x  + 3*x + 1
------------
  2         
 x  + x + 1

$$\frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + x + 1}$$

  / 2          \
d |x  + 3*x + 1|
--|------------|
dx|  2         |
  \ x  + x + 1 /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + x + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x^{2} + 3 x + 1$ и $g{\left(x \right)} = x^{2} + x + 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x^{2} + 3 x + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
  3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $3$
  В результате: $2 x + 3$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x^{2} + x + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  3. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
  В результате: $2 x + 1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} + 3 x + 1\right) + \left(2 x + 3\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 \cdot \left(1 - x^{2}\right)}{x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1}$

Ответ:

$\frac{2 \cdot \left(1 - x^{2}\right)}{x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                        / 2          \
 3 + 2*x     (-1 - 2*x)*\x  + 3*x + 1/
---------- + -------------------------
 2                             2      
x  + x + 1         / 2        \       
                   \x  + x + 1/

$$\frac{\left(- 2 x - 1\right) \left(x^{2} + 3 x + 1\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 3}{x^{2} + x + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /    /              2\                                     \
  |    |     (1 + 2*x) | /     2      \                      |
  |    |-1 + ----------|*\1 + x  + 3*x/                      |
  |    |              2|                                     |
  |    \     1 + x + x /                  (1 + 2*x)*(3 + 2*x)|
2*|1 + -------------------------------- - -------------------|
  |                        2                            2    |
  \               1 + x + x                    1 + x + x     /
--------------------------------------------------------------
                                   2                          
                          1 + x + x

$$\frac{2 \left(- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + x + 1} + \frac{\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 1\right) \left(x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} + x + 1} + 1\right)}{x^{2} + x + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                   /              2\               \
  |                                                   |     (1 + 2*x) | /     2      \|
  |                                         (1 + 2*x)*|-2 + ----------|*\1 + x  + 3*x/|
  |           /              2\                       |              2|               |
  |           |     (1 + 2*x) |                       \     1 + x + x /               |
6*|-1 - 2*x + |-1 + ----------|*(3 + 2*x) - ------------------------------------------|
  |           |              2|                                      2                |
  \           \     1 + x + x /                             1 + x + x                 /
---------------------------------------------------------------------------------------
                                                 2                                     
                                     /         2\                                      
                                     \1 + x + x /

$$\frac{6 \left(- \frac{\left(2 x + 1\right) \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 2\right) \left(x^{2} + 3 x + 1\right)}{x^{2} + x + 1} + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 1\right) - 2 x - 1\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (x^2+3*x+1)/(x^2+x+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение