Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
((x^ два + один)/(x))^ два
((x в квадрате плюс 1) делить на (x)) в квадрате
((x в степени два плюс один) делить на (x)) в степени два
((x2+1)/(x))2
x2+1/x2
((x²+1)/(x))²
((x в степени 2+1)/(x)) в степени 2
x^2+1/x^2
((x^2+1) разделить на (x))^2
Похожие выражения
-x^2+1/(x^2-1)^2
cot(x)^3*sqrt(x^2+1)/(x^2-1)
((x^2-1)/(x))^2
-(cos(x)/sin(x)^2)+(1/x^2)
(1/12)*log((x^4-x^2+1)/(x^2+1)^2)-(atan(sqrt(3)/(2*x^2-1)))
(2*x^4-3*x^2+1)/(x^2-4)

Производная функции/ ((x^2+1)/(x))^2

Производная ((x^2+1)/(x))^2

Решение

Вы ввели [src]

        2
/ 2    \ 
|x  + 1| 
|------| 
\  x   /

$$\left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)^{2}$$

  /        2\
  |/ 2    \ |
d ||x  + 1| |
--||------| |
dx\\  x   / /

$$\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2} + 1}{x}\right)^{2}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x^{2} + 1}{x}$ .
В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 1}{x}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x^{2} + 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    В результате: $2 x$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{2 \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x^{3}}$
Теперь упростим:

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

Ответ:

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

          2                 
  / 2    \  /      / 2    \\
  \x  + 1/  |    2*\x  + 1/|
x*---------*|4 - ----------|
       2    |         2    |
      x     \        x     /
----------------------------
            2               
           x  + 1

$$\frac{x \frac{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2}} \cdot \left(4 - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2} + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                                             /         2\              /         2\\
  |                                    /     2\ |    1 + x |     /     2\ |    1 + x ||
  |                   2                \1 + x /*|2 - ------|   2*\1 + x /*|1 - ------||
  |       /         2\      /     2\            |       2  |              |       2  ||
  |       |    1 + x |    2*\1 + x /            \      x   /              \      x   /|
2*|-4 + 2*|2 - ------|  + ---------- + --------------------- - -----------------------|
  |       |       2  |         2                  2                        2          |
  \       \      x   /        x                  x                        x           /

$$2 \cdot \left(2 \left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{2} - 4 - \frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{\left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

  /            2                                                        2                                                                          /                           2\\
  |/         2\             2            /         2\       /         2\      /         2\ /         2\              /         2\     /         2\ |      /     2\     /     2\ ||
  ||    1 + x |        1 + x    /     2\ |    1 + x |       |    1 + x |      |    1 + x | |    1 + x |     /     2\ |    1 + x |     |    1 + x | |    6*\1 + x /   3*\1 + x / ||
  ||2 - ------|    2 - ------   \1 + x /*|2 - ------|   2*x*|2 - ------|    2*|1 - ------|*|2 - ------|   3*\1 + x /*|1 - ------|   x*|2 - ------|*|4 - ---------- + -----------||
  ||       2  |           2              |       2  |       |       2  |      |       2  | |       2  |              |       2  |     |       2  | |         2             4    ||
  |\      x   /          x               \      x   /       \      x   /      \      x   / \      x   /              \      x   /     \      x   / \        x             x     /|
4*|------------- + ---------- - --------------------- - ----------------- - --------------------------- + ----------------------- + ---------------------------------------------|
  |      x             x                   3                       2                     x                            3                                      2                   |
  \                                       x                   1 + x                                                  x                                  1 + x                    /

$$4 \left(- \frac{2 x \left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{x \left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(4 - \frac{6 \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{4}}\right)}{x^{2} + 1} - \frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)}{x} + \frac{\left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{2}}{x} + \frac{2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}{x} + \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x^{3}} - \frac{\left(2 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x^{3}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная ((x^2+1)/(x))^2

График:

Кусочно-заданная:

Решение