Производная x*sin(x/2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   В результате: $\frac{x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

Ответ:

$\frac{x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$