Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x^2*sqrt(4-(x^2))
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
-
sqrt(4*y)
- Интеграл d{x}:
- x*sin(x)/2
- Производная:
- x*sin(x)/2
-
Идентичные выражения
- x*sin(x)/ два
- x умножить на синус от (x) делить на 2
- x умножить на синус от (x) делить на два
- xsin(x)/2
- xsinx/2
- x*sin(x) разделить на 2
-
Похожие выражения
- x*sin(x/2)
- x*sinx/2
График функции y = x*sin(x)/2
Решение
Вы ввели
[src]
x*sin(x)
f(x) = --------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}$$
f = x*sin(x)/2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -15.707963267949$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = 3.14159265358979$$
$$x_{5} = 697.433569096934$$
$$x_{6} = 9.42477796076938$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 91.106186954104$$
$$x_{9} = 6.28318530717959$$
$$x_{10} = 81.6814089933346$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -28.2743338823081$$
$$x_{13} = -31.4159265358979$$
$$x_{14} = 15.707963267949$$
$$x_{15} = 62.8318530717959$$
$$x_{16} = 72.2566310325652$$
$$x_{17} = -12.5663706143592$$
$$x_{18} = -56.5486677646163$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -50.2654824574367$$
$$x_{21} = -18.8495559215388$$
$$x_{22} = 31.4159265358979$$
$$x_{23} = -97.3893722612836$$
$$x_{24} = -65.9734457253857$$
$$x_{25} = 18.8495559215388$$
$$x_{26} = 97.3893722612836$$
$$x_{27} = 40.8407044966673$$
$$x_{28} = -3.14159265358979$$
$$x_{29} = 75.398223686155$$
$$x_{30} = 21.9911485751286$$
$$x_{31} = -9.42477796076938$$
$$x_{32} = -84.8230016469244$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -53.4070751110265$$
$$x_{36} = -94.2477796076938$$
$$x_{37} = -81.6814089933346$$
$$x_{38} = 25.1327412287183$$
$$x_{39} = 53.4070751110265$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = 28.2743338823081$$
$$x_{42} = -47.1238898038469$$
$$x_{43} = -62.8318530717959$$
$$x_{44} = -34.5575191894877$$
$$x_{45} = -25.1327412287183$$
$$x_{46} = 84.8230016469244$$
$$x_{47} = 100.530964914873$$
$$x_{48} = 87.9645943005142$$
$$x_{49} = 34.5575191894877$$
$$x_{50} = -37.6991118430775$$
$$x_{51} = 59.6902604182061$$
$$x_{52} = -6.28318530717959$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = -78.5398163397448$$
$$x_{55} = 43.9822971502571$$
$$x_{56} = -21.9911485751286$$
$$x_{57} = 50.2654824574367$$
$$x_{58} = 69.1150383789755$$
$$x_{59} = -91.106186954104$$
$$x_{60} = -87.9645943005142$$
$$x_{61} = -40.8407044966673$$
$$x_{62} = -72.2566310325652$$
$$x_{63} = -100.530964914873$$
$$x_{64} = 78.5398163397448$$
$$x_{65} = 12.5663706143592$$
$$x_{66} = 47.1238898038469$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -15.707963267949$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = 3.14159265358979$$
$$x_{5} = 697.433569096934$$
$$x_{6} = 9.42477796076938$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 91.106186954104$$
$$x_{9} = 6.28318530717959$$
$$x_{10} = 81.6814089933346$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -28.2743338823081$$
$$x_{13} = -31.4159265358979$$
$$x_{14} = 15.707963267949$$
$$x_{15} = 62.8318530717959$$
$$x_{16} = 72.2566310325652$$
$$x_{17} = -12.5663706143592$$
$$x_{18} = -56.5486677646163$$
$$x_{19} = 37.6991118430775$$
$$x_{20} = -50.2654824574367$$
$$x_{21} = -18.8495559215388$$
$$x_{22} = 31.4159265358979$$
$$x_{23} = -97.3893722612836$$
$$x_{24} = -65.9734457253857$$
$$x_{25} = 18.8495559215388$$
$$x_{26} = 97.3893722612836$$
$$x_{27} = 40.8407044966673$$
$$x_{28} = -3.14159265358979$$
$$x_{29} = 75.398223686155$$
$$x_{30} = 21.9911485751286$$
$$x_{31} = -9.42477796076938$$
$$x_{32} = -84.8230016469244$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{35} = -53.4070751110265$$
$$x_{36} = -94.2477796076938$$
$$x_{37} = -81.6814089933346$$
$$x_{38} = 25.1327412287183$$
$$x_{39} = 53.4070751110265$$
$$x_{40} = 94.2477796076938$$
$$x_{41} = 28.2743338823081$$
$$x_{42} = -47.1238898038469$$
$$x_{43} = -62.8318530717959$$
$$x_{44} = -34.5575191894877$$
$$x_{45} = -25.1327412287183$$
$$x_{46} = 84.8230016469244$$
$$x_{47} = 100.530964914873$$
$$x_{48} = 87.9645943005142$$
$$x_{49} = 34.5575191894877$$
$$x_{50} = -37.6991118430775$$
$$x_{51} = 59.6902604182061$$
$$x_{52} = -6.28318530717959$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = -78.5398163397448$$
$$x_{55} = 43.9822971502571$$
$$x_{56} = -21.9911485751286$$
$$x_{57} = 50.2654824574367$$
$$x_{58} = 69.1150383789755$$
$$x_{59} = -91.106186954104$$
$$x_{60} = -87.9645943005142$$
$$x_{61} = -40.8407044966673$$
$$x_{62} = -72.2566310325652$$
$$x_{63} = -100.530964914873$$
$$x_{64} = 78.5398163397448$$
$$x_{65} = 12.5663706143592$$
$$x_{66} = 47.1238898038469$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -61.2773745335697$$
$$x_{2} = -36.1559664195367$$
$$x_{3} = 80.1230928148503$$
$$x_{4} = -39.295350981473$$
$$x_{5} = 83.2642147040886$$
$$x_{6} = 33.0170010333572$$
$$x_{7} = -4.91318043943488$$
$$x_{8} = 45.57503179559$$
$$x_{9} = 98.9702722883957$$
$$x_{10} = -67.5590428388084$$
$$x_{11} = -73.8409691490209$$
$$x_{12} = 17.3363779239834$$
$$x_{13} = 48.7152107175577$$
$$x_{14} = -11.085538406497$$
$$x_{15} = -2.02875783811043$$
$$x_{16} = 14.2074367251912$$
$$x_{17} = 92.687771772017$$
$$x_{18} = -86.4053708116885$$
$$x_{19} = -14.2074367251912$$
$$x_{20} = 4.91318043943488$$
$$x_{21} = 11.085538406497$$
$$x_{22} = -98.9702722883957$$
$$x_{23} = -58.1366632448992$$
$$x_{24} = 54.9960525574964$$
$$x_{25} = 76.9820093304187$$
$$x_{26} = 2.02875783811043$$
$$x_{27} = 89.5465575382492$$
$$x_{28} = -23.6042847729804$$
$$x_{29} = -95.8290108090195$$
$$x_{30} = -7.97866571241324$$
$$x_{31} = -89.5465575382492$$
$$x_{32} = -26.7409160147873$$
$$x_{33} = 86.4053708116885$$
$$x_{34} = -54.9960525574964$$
$$x_{35} = 73.8409691490209$$
$$x_{36} = -70.69997803861$$
$$x_{37} = 29.8785865061074$$
$$x_{38} = -20.469167402741$$
$$x_{39} = -92.687771772017$$
$$x_{40} = -76.9820093304187$$
$$x_{41} = 102.111554139654$$
$$x_{42} = 64.4181717218392$$
$$x_{43} = 67.5590428388084$$
$$x_{44} = -51.855560729152$$
$$x_{45} = -45.57503179559$$
$$x_{46} = -64.4181717218392$$
$$x_{47} = 26.7409160147873$$
$$x_{48} = -29.8785865061074$$
$$x_{49} = 20.469167402741$$
$$x_{50} = 39.295350981473$$
$$x_{51} = -80.1230928148503$$
$$x_{52} = 0$$
$$x_{53} = 95.8290108090195$$
$$x_{54} = 51.855560729152$$
$$x_{55} = 58.1366632448992$$
$$x_{56} = -33.0170010333572$$
$$x_{57} = 70.69997803861$$
$$x_{58} = 36.1559664195367$$
$$x_{59} = -83.2642147040886$$
$$x_{60} = 61.2773745335697$$
$$x_{61} = 23.6042847729804$$
$$x_{62} = 7.97866571241324$$
$$x_{63} = -42.4350618814099$$
$$x_{64} = 42.4350618814099$$
$$x_{65} = -17.3363779239834$$
$$x_{66} = -48.7152107175577$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -61.2773745335697$$
$$x_{2} = -36.1559664195367$$
$$x_{3} = 80.1230928148503$$
$$x_{4} = -4.91318043943488$$
$$x_{5} = 98.9702722883957$$
$$x_{6} = -67.5590428388084$$
$$x_{7} = -73.8409691490209$$
$$x_{8} = 17.3363779239834$$
$$x_{9} = 48.7152107175577$$
$$x_{10} = -11.085538406497$$
$$x_{11} = 92.687771772017$$
$$x_{12} = -86.4053708116885$$
$$x_{13} = 4.91318043943488$$
$$x_{14} = 11.085538406497$$
$$x_{15} = -98.9702722883957$$
$$x_{16} = 54.9960525574964$$
$$x_{17} = -23.6042847729804$$
$$x_{18} = 86.4053708116885$$
$$x_{19} = -54.9960525574964$$
$$x_{20} = 73.8409691490209$$
$$x_{21} = 29.8785865061074$$
$$x_{22} = -92.687771772017$$
$$x_{23} = 67.5590428388084$$
$$x_{24} = -29.8785865061074$$
$$x_{25} = -80.1230928148503$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = 36.1559664195367$$
$$x_{28} = 61.2773745335697$$
$$x_{29} = 23.6042847729804$$
$$x_{30} = -42.4350618814099$$
$$x_{31} = 42.4350618814099$$
$$x_{32} = -17.3363779239834$$
$$x_{33} = -48.7152107175577$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = -39.295350981473$$
$$x_{33} = 83.2642147040886$$
$$x_{33} = 33.0170010333572$$
$$x_{33} = 45.57503179559$$
$$x_{33} = -2.02875783811043$$
$$x_{33} = 14.2074367251912$$
$$x_{33} = -14.2074367251912$$
$$x_{33} = -58.1366632448992$$
$$x_{33} = 76.9820093304187$$
$$x_{33} = 2.02875783811043$$
$$x_{33} = 89.5465575382492$$
$$x_{33} = -95.8290108090195$$
$$x_{33} = -7.97866571241324$$
$$x_{33} = -89.5465575382492$$
$$x_{33} = -26.7409160147873$$
$$x_{33} = -70.69997803861$$
$$x_{33} = -20.469167402741$$
$$x_{33} = -76.9820093304187$$
$$x_{33} = 102.111554139654$$
$$x_{33} = 64.4181717218392$$
$$x_{33} = -51.855560729152$$
$$x_{33} = -45.57503179559$$
$$x_{33} = -64.4181717218392$$
$$x_{33} = 26.7409160147873$$
$$x_{33} = 20.469167402741$$
$$x_{33} = 39.295350981473$$
$$x_{33} = 95.8290108090195$$
$$x_{33} = 51.855560729152$$
$$x_{33} = 58.1366632448992$$
$$x_{33} = -33.0170010333572$$
$$x_{33} = 70.69997803861$$
$$x_{33} = -83.2642147040886$$
$$x_{33} = 7.97866571241324$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9702722883957, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -98.9702722883957\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -61.2773745335697$$
$$x_{2} = -36.1559664195367$$
$$x_{3} = 80.1230928148503$$
$$x_{4} = -39.295350981473$$
$$x_{5} = 83.2642147040886$$
$$x_{6} = 33.0170010333572$$
$$x_{7} = -4.91318043943488$$
$$x_{8} = 45.57503179559$$
$$x_{9} = 98.9702722883957$$
$$x_{10} = -67.5590428388084$$
$$x_{11} = -73.8409691490209$$
$$x_{12} = 17.3363779239834$$
$$x_{13} = 48.7152107175577$$
$$x_{14} = -11.085538406497$$
$$x_{15} = -2.02875783811043$$
$$x_{16} = 14.2074367251912$$
$$x_{17} = 92.687771772017$$
$$x_{18} = -86.4053708116885$$
$$x_{19} = -14.2074367251912$$
$$x_{20} = 4.91318043943488$$
$$x_{21} = 11.085538406497$$
$$x_{22} = -98.9702722883957$$
$$x_{23} = -58.1366632448992$$
$$x_{24} = 54.9960525574964$$
$$x_{25} = 76.9820093304187$$
$$x_{26} = 2.02875783811043$$
$$x_{27} = 89.5465575382492$$
$$x_{28} = -23.6042847729804$$
$$x_{29} = -95.8290108090195$$
$$x_{30} = -7.97866571241324$$
$$x_{31} = -89.5465575382492$$
$$x_{32} = -26.7409160147873$$
$$x_{33} = 86.4053708116885$$
$$x_{34} = -54.9960525574964$$
$$x_{35} = 73.8409691490209$$
$$x_{36} = -70.69997803861$$
$$x_{37} = 29.8785865061074$$
$$x_{38} = -20.469167402741$$
$$x_{39} = -92.687771772017$$
$$x_{40} = -76.9820093304187$$
$$x_{41} = 102.111554139654$$
$$x_{42} = 64.4181717218392$$
$$x_{43} = 67.5590428388084$$
$$x_{44} = -51.855560729152$$
$$x_{45} = -45.57503179559$$
$$x_{46} = -64.4181717218392$$
$$x_{47} = 26.7409160147873$$
$$x_{48} = -29.8785865061074$$
$$x_{49} = 20.469167402741$$
$$x_{50} = 39.295350981473$$
$$x_{51} = -80.1230928148503$$
$$x_{52} = 0$$
$$x_{53} = 95.8290108090195$$
$$x_{54} = 51.855560729152$$
$$x_{55} = 58.1366632448992$$
$$x_{56} = -33.0170010333572$$
$$x_{57} = 70.69997803861$$
$$x_{58} = 36.1559664195367$$
$$x_{59} = -83.2642147040886$$
$$x_{60} = 61.2773745335697$$
$$x_{61} = 23.6042847729804$$
$$x_{62} = 7.97866571241324$$
$$x_{63} = -42.4350618814099$$
$$x_{64} = 42.4350618814099$$
$$x_{65} = -17.3363779239834$$
$$x_{66} = -48.7152107175577$$
Зн. экстремумы в точках:
(-61.2773745335697, -30.6346082722383)
(-36.1559664195367, -18.071072686121)
(80.1230928148503, -40.0584265728296)
(-39.295350981473, 19.6413165034459)
(83.2642147040886, 41.6291051864766)
(33.0170010333572, 16.5009338654227)
(-4.91318043943488, -2.40723494485613)
(45.57503179559, 22.7820324180134)
(98.9702722883957, -49.4826103265593)
(-67.5590428388084, -33.7758215604863)
(-73.8409691490209, -36.9170993857708)
(17.3363779239834, -8.65380430392926)
(48.7152107175577, -24.352475112684)
(-11.085538406497, -5.520354007965)
(-2.02875783811043, 0.909852870579826)
(14.2074367251912, 7.08618705688714)
(92.687771772017, -46.3411888940296)
(-86.4053708116885, -43.1997923578054)
(-14.2074367251912, 7.08618705688714)
(4.91318043943488, -2.40723494485613)
(11.085538406497, -5.520354007965)
(-98.9702722883957, -49.4826103265593)
(-58.1366632448992, 29.0640323640429)
(54.9960525574964, -27.4934816248488)
(76.9820093304187, 38.4877575641319)
(2.02875783811043, 0.909852870579826)
(89.5465575382492, 44.7704871864426)
(-23.6042847729804, -11.7915653248167)
(-95.8290108090195, 47.9118968042328)
(-7.97866571241324, 3.95836368579389)
(-89.5465575382492, 44.7704871864426)
(-26.7409160147873, 13.3611188323487)
(86.4053708116885, -43.1997923578054)
(-54.9960525574964, -27.4934816248488)
(73.8409691490209, -36.9170993857708)
(-70.69997803861, 35.3464534807966)
(29.8785865061074, -14.9309330795934)
(-20.469167402741, 10.2223920291261)
(-92.687771772017, -46.3411888940296)
(-76.9820093304187, 38.4877575641319)
(102.111554139654, 51.0533289431582)
(64.4181717218392, 32.2052056696877)
(67.5590428388084, -33.7758215604863)
(-51.855560729152, 25.9229606251007)
(-45.57503179559, 22.7820324180134)
(-64.4181717218392, 32.2052056696877)
(26.7409160147873, 13.3611188323487)
(-29.8785865061074, -14.9309330795934)
(20.469167402741, 10.2223920291261)
(39.295350981473, 19.6413165034459)
(-80.1230928148503, -40.0584265728296)
(0, 0)
(95.8290108090195, 47.9118968042328)
(51.855560729152, 25.9229606251007)
(58.1366632448992, 29.0640323640429)
(-33.0170010333572, 16.5009338654227)
(70.69997803861, 35.3464534807966)
(36.1559664195367, -18.071072686121)
(-83.2642147040886, 41.6291051864766)
(61.2773745335697, -30.6346082722383)
(23.6042847729804, -11.7915653248167)
(7.97866571241324, 3.95836368579389)
(-42.4350618814099, -21.2116420386295)
(42.4350618814099, -21.2116420386295)
(-17.3363779239834, -8.65380430392926)
(-48.7152107175577, -24.352475112684)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -61.2773745335697$$
$$x_{2} = -36.1559664195367$$
$$x_{3} = 80.1230928148503$$
$$x_{4} = -4.91318043943488$$
$$x_{5} = 98.9702722883957$$
$$x_{6} = -67.5590428388084$$
$$x_{7} = -73.8409691490209$$
$$x_{8} = 17.3363779239834$$
$$x_{9} = 48.7152107175577$$
$$x_{10} = -11.085538406497$$
$$x_{11} = 92.687771772017$$
$$x_{12} = -86.4053708116885$$
$$x_{13} = 4.91318043943488$$
$$x_{14} = 11.085538406497$$
$$x_{15} = -98.9702722883957$$
$$x_{16} = 54.9960525574964$$
$$x_{17} = -23.6042847729804$$
$$x_{18} = 86.4053708116885$$
$$x_{19} = -54.9960525574964$$
$$x_{20} = 73.8409691490209$$
$$x_{21} = 29.8785865061074$$
$$x_{22} = -92.687771772017$$
$$x_{23} = 67.5590428388084$$
$$x_{24} = -29.8785865061074$$
$$x_{25} = -80.1230928148503$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = 36.1559664195367$$
$$x_{28} = 61.2773745335697$$
$$x_{29} = 23.6042847729804$$
$$x_{30} = -42.4350618814099$$
$$x_{31} = 42.4350618814099$$
$$x_{32} = -17.3363779239834$$
$$x_{33} = -48.7152107175577$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = -39.295350981473$$
$$x_{33} = 83.2642147040886$$
$$x_{33} = 33.0170010333572$$
$$x_{33} = 45.57503179559$$
$$x_{33} = -2.02875783811043$$
$$x_{33} = 14.2074367251912$$
$$x_{33} = -14.2074367251912$$
$$x_{33} = -58.1366632448992$$
$$x_{33} = 76.9820093304187$$
$$x_{33} = 2.02875783811043$$
$$x_{33} = 89.5465575382492$$
$$x_{33} = -95.8290108090195$$
$$x_{33} = -7.97866571241324$$
$$x_{33} = -89.5465575382492$$
$$x_{33} = -26.7409160147873$$
$$x_{33} = -70.69997803861$$
$$x_{33} = -20.469167402741$$
$$x_{33} = -76.9820093304187$$
$$x_{33} = 102.111554139654$$
$$x_{33} = 64.4181717218392$$
$$x_{33} = -51.855560729152$$
$$x_{33} = -45.57503179559$$
$$x_{33} = -64.4181717218392$$
$$x_{33} = 26.7409160147873$$
$$x_{33} = 20.469167402741$$
$$x_{33} = 39.295350981473$$
$$x_{33} = 95.8290108090195$$
$$x_{33} = 51.855560729152$$
$$x_{33} = 58.1366632448992$$
$$x_{33} = -33.0170010333572$$
$$x_{33} = 70.69997803861$$
$$x_{33} = -83.2642147040886$$
$$x_{33} = 7.97866571241324$$
Убывает на промежутках
$$\left[98.9702722883957, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -98.9702722883957\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 59.7237354324305$$
$$x_{2} = -31.479374920314$$
$$x_{3} = 1.0768739863118$$
$$x_{4} = -18.954681766529$$
$$x_{5} = -34.6152330552306$$
$$x_{6} = -78.5652673845995$$
$$x_{7} = -40.8895777660408$$
$$x_{8} = -28.3447768697864$$
$$x_{9} = 56.5839987378634$$
$$x_{10} = -22.0814757672807$$
$$x_{11} = 72.2842925036825$$
$$x_{12} = -100.550852725424$$
$$x_{13} = 25.2119030642106$$
$$x_{14} = -81.7058821480364$$
$$x_{15} = -53.4444796697636$$
$$x_{16} = -15.8336114149477$$
$$x_{17} = -12.7222987717666$$
$$x_{18} = -47.1662676027767$$
$$x_{19} = -9.62956034329743$$
$$x_{20} = 81.7058821480364$$
$$x_{21} = -50.3052188363296$$
$$x_{22} = -66.0037377708277$$
$$x_{23} = -1.0768739863118$$
$$x_{24} = 97.4099011706723$$
$$x_{25} = 22.0814757672807$$
$$x_{26} = 50.3052188363296$$
$$x_{27} = 78.5652673845995$$
$$x_{28} = 87.9873209346887$$
$$x_{29} = 12.7222987717666$$
$$x_{30} = -128.820822990274$$
$$x_{31} = -97.4099011706723$$
$$x_{32} = -56.5839987378634$$
$$x_{33} = -37.7520396346102$$
$$x_{34} = -59.7237354324305$$
$$x_{35} = 53.4444796697636$$
$$x_{36} = 9.62956034329743$$
$$x_{37} = -62.863657228703$$
$$x_{38} = 34.6152330552306$$
$$x_{39} = 28.3447768697864$$
$$x_{40} = 40.8895777660408$$
$$x_{41} = -87.9873209346887$$
$$x_{42} = -3.6435971674254$$
$$x_{43} = -91.1281305511393$$
$$x_{44} = 47.1662676027767$$
$$x_{45} = 6.57833373272234$$
$$x_{46} = 18.954681766529$$
$$x_{47} = -94.2689923093066$$
$$x_{48} = 3.6435971674254$$
$$x_{49} = -72.2842925036825$$
$$x_{50} = 91.1281305511393$$
$$x_{51} = -25.2119030642106$$
$$x_{52} = 37.7520396346102$$
$$x_{53} = 15.8336114149477$$
$$x_{54} = -75.4247339745236$$
$$x_{55} = 84.8465692433091$$
$$x_{56} = -69.1439554764926$$
$$x_{57} = 100.550852725424$$
$$x_{58} = 62.863657228703$$
$$x_{59} = 31.479374920314$$
$$x_{60} = 69.1439554764926$$
$$x_{61} = 94.2689923093066$$
$$x_{62} = 66.0037377708277$$
$$x_{63} = -44.0276918992479$$
$$x_{64} = 75.4247339745236$$
$$x_{65} = -6.57833373272234$$
$$x_{66} = -84.8465692433091$$
$$x_{67} = 44.0276918992479$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[97.4099011706723, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -100.550852725424\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 59.7237354324305$$
$$x_{2} = -31.479374920314$$
$$x_{3} = 1.0768739863118$$
$$x_{4} = -18.954681766529$$
$$x_{5} = -34.6152330552306$$
$$x_{6} = -78.5652673845995$$
$$x_{7} = -40.8895777660408$$
$$x_{8} = -28.3447768697864$$
$$x_{9} = 56.5839987378634$$
$$x_{10} = -22.0814757672807$$
$$x_{11} = 72.2842925036825$$
$$x_{12} = -100.550852725424$$
$$x_{13} = 25.2119030642106$$
$$x_{14} = -81.7058821480364$$
$$x_{15} = -53.4444796697636$$
$$x_{16} = -15.8336114149477$$
$$x_{17} = -12.7222987717666$$
$$x_{18} = -47.1662676027767$$
$$x_{19} = -9.62956034329743$$
$$x_{20} = 81.7058821480364$$
$$x_{21} = -50.3052188363296$$
$$x_{22} = -66.0037377708277$$
$$x_{23} = -1.0768739863118$$
$$x_{24} = 97.4099011706723$$
$$x_{25} = 22.0814757672807$$
$$x_{26} = 50.3052188363296$$
$$x_{27} = 78.5652673845995$$
$$x_{28} = 87.9873209346887$$
$$x_{29} = 12.7222987717666$$
$$x_{30} = -128.820822990274$$
$$x_{31} = -97.4099011706723$$
$$x_{32} = -56.5839987378634$$
$$x_{33} = -37.7520396346102$$
$$x_{34} = -59.7237354324305$$
$$x_{35} = 53.4444796697636$$
$$x_{36} = 9.62956034329743$$
$$x_{37} = -62.863657228703$$
$$x_{38} = 34.6152330552306$$
$$x_{39} = 28.3447768697864$$
$$x_{40} = 40.8895777660408$$
$$x_{41} = -87.9873209346887$$
$$x_{42} = -3.6435971674254$$
$$x_{43} = -91.1281305511393$$
$$x_{44} = 47.1662676027767$$
$$x_{45} = 6.57833373272234$$
$$x_{46} = 18.954681766529$$
$$x_{47} = -94.2689923093066$$
$$x_{48} = 3.6435971674254$$
$$x_{49} = -72.2842925036825$$
$$x_{50} = 91.1281305511393$$
$$x_{51} = -25.2119030642106$$
$$x_{52} = 37.7520396346102$$
$$x_{53} = 15.8336114149477$$
$$x_{54} = -75.4247339745236$$
$$x_{55} = 84.8465692433091$$
$$x_{56} = -69.1439554764926$$
$$x_{57} = 100.550852725424$$
$$x_{58} = 62.863657228703$$
$$x_{59} = 31.479374920314$$
$$x_{60} = 69.1439554764926$$
$$x_{61} = 94.2689923093066$$
$$x_{62} = 66.0037377708277$$
$$x_{63} = -44.0276918992479$$
$$x_{64} = 75.4247339745236$$
$$x_{65} = -6.57833373272234$$
$$x_{66} = -84.8465692433091$$
$$x_{67} = 44.0276918992479$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[97.4099011706723, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -100.550852725424\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}$$
- Нет
$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} = - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График