Производная x*sqrt(x)^2+2*x+3

1. дифференцируем $x \left(\sqrt{x}\right)^{2} + 2 x + 3$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x}\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $1$

      В результате: $\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $2$

   3. Производная постоянной $3$ равна нулю.

   В результате: $\left(\sqrt{x}\right)^{2} + x + 2$

2. Теперь упростим:

   $2 x + 2$

Ответ:

$2 x + 2$