Производная x*sqrt(3*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{3 x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 3 x$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x}}$

   В результате: $\frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{2} + \sqrt{3 x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{x}}{2}$

Ответ:

$\frac{3 \sqrt{3} \sqrt{x}}{2}$