Производная x*cos(x)/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

x*cos(x)
--------
 sin(x)

$$\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /x*cos(x)\
--|--------|
dx\ sin(x) /

$$\frac{d}{d x} \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                   2   
     cos(x)   x*cos (x)
-x + ------ - ---------
     sin(x)       2    
               sin (x)

$$- x - \frac{x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                              /         2   \       
                              |    2*cos (x)|       
                            x*|1 + ---------|*cos(x)
          2                   |        2    |       
     2*cos (x)   x*cos(x)     \     sin (x) /       
-2 - --------- + -------- + ------------------------
         2        sin(x)             sin(x)         
      sin (x)

$$\frac{x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 2 - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                     /         2   \                    /         2   \
                                                     |    2*cos (x)|               2    |    6*cos (x)|
                                                   3*|1 + ---------|*cos(x)   x*cos (x)*|5 + ---------|
        /         2   \                     2        |        2    |                    |        2    |
        |    2*cos (x)|   3*cos(x)   3*x*cos (x)     \     sin (x) /                    \     sin (x) /
x - 3*x*|1 + ---------| + -------- + ----------- + ------------------------ - -------------------------
        |        2    |    sin(x)         2                 sin(x)                        2            
        \     sin (x) /                sin (x)                                         sin (x)

$$- 3 x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) - \frac{x \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + x + \frac{3 x \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная x*cos(x)/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение