Производная x*cos(1/x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

   В результате: $\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$

Ответ:

$\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$