Производная (x+cos(x))/(sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

x + cos(x)
----------
  sin(x)

$$\frac{x + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /x + cos(x)\
--|----------|
dx\  sin(x)  /

$$\frac{d}{d x} \frac{x + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x + \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x + \cos{\left(x \right)}$ почленно:
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате: $1 - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(x + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

1 - sin(x)   (x + cos(x))*cos(x)
---------- - -------------------
  sin(x)              2         
                   sin (x)

$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(x + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

          /         2   \                                      
          |    2*cos (x)|                2*(-1 + sin(x))*cos(x)
-cos(x) + |1 + ---------|*(x + cos(x)) + ----------------------
          |        2    |                        sin(x)        
          \     sin (x) /                                      
---------------------------------------------------------------
                             sin(x)

$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(x + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                  /         2   \                 /         2   \                    
                  |    2*cos (x)|                 |    6*cos (x)|                    
                3*|1 + ---------|*(-1 + sin(x))   |5 + ---------|*(x + cos(x))*cos(x)
         2        |        2    |                 |        2    |                    
    3*cos (x)     \     sin (x) /                 \     sin (x) /                    
1 + --------- - ------------------------------- - -----------------------------------
        2                    sin(x)                                2                 
     sin (x)                                                    sin (x)

$$- \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(x + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (x+cos(x))/(sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение