Производная (sin(x)+cos(x))/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

sin(x) + cos(x)
---------------
     sin(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /sin(x) + cos(x)\
--|---------------|
dx\     sin(x)    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

-sin(x) + cos(x)   (sin(x) + cos(x))*cos(x)
---------------- - ------------------------
     sin(x)                   2            
                           sin (x)

$$\frac{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                   /         2   \                                                
                   |    2*cos (x)|                     2*(-cos(x) + sin(x))*cos(x)
-cos(x) - sin(x) + |1 + ---------|*(cos(x) + sin(x)) + ---------------------------
                   |        2    |                                sin(x)          
                   \     sin (x) /                                                
----------------------------------------------------------------------------------
                                      sin(x)

$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                              /         2   \                                  
                                                                              |    6*cos (x)|                                  
                                                                              |5 + ---------|*(cos(x) + sin(x))*cos(x)         
            /         2   \                                                   |        2    |                                  
            |    2*cos (x)|                      3*(cos(x) + sin(x))*cos(x)   \     sin (x) /                                  
-cos(x) - 3*|1 + ---------|*(-cos(x) + sin(x)) + -------------------------- - ---------------------------------------- + sin(x)
            |        2    |                                sin(x)                              sin(x)                          
            \     sin (x) /                                                                                                    
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                             sin(x)

$$\frac{- 3 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) - \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (sin(x)+cos(x))/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение