Производная x/(sqrt((x^2+a^2)^3))

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}$:

      1. Заменим $u = a^{2} + x^{2}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right)$:

         1. дифференцируем $a^{2} + x^{2}$ почленно:

            1. Производная постоянной $a^{2}$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $6 x \left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 x \left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}{\sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{3 x^{2} \left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}{\sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}} + \sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{a^{2} - 2 x^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right) \sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}}$

Ответ:

$\frac{a^{2} - 2 x^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right) \sqrt{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{3}}}$