Производная 8^x*sin(x)^(8)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 8^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 8^{x} = 8^{x} \log{\left(8 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $8 \sin^{7}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $8^{x} \log{\left(8 \right)} \sin^{8}{\left(x \right)} + 8 \cdot 8^{x} \sin^{7}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2^{3 x + 3} \cos{\left(x \right)} + \log{\left(8^{8^{x} \sin{\left(x \right)}} \right)}\right) \sin^{7}{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(2^{3 x + 3} \cos{\left(x \right)} + \log{\left(8^{8^{x} \sin{\left(x \right)}} \right)}\right) \sin^{7}{\left(x \right)}$