Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная 5^(x^4-32*x+45)
Производная (x-11)*e^12-x
Производная cos(3^x)
Производная e^7-x
Идентичные выражения
(восемь *x^ три +cot(x))/(два *x^ два - восемь *x)
(8 умножить на x в кубе плюс котангенс от (x)) делить на (2 умножить на x в квадрате минус 8 умножить на x)
(восемь умножить на x в степени три плюс котангенс от (x)) делить на (два умножить на x в степени два минус восемь умножить на x)
(8*x3+cot(x))/(2*x2-8*x)
8*x3+cotx/2*x2-8*x
(8*x³+cot(x))/(2*x²-8*x)
(8*x в степени 3+cot(x))/(2*x в степени 2-8*x)
(8x^3+cot(x))/(2x^2-8x)
(8x3+cot(x))/(2x2-8x)
8x3+cotx/2x2-8x
8x^3+cotx/2x^2-8x
(8*x^3+cot(x)) разделить на (2*x^2-8*x)
Похожие выражения
(8*x^3+cot(x))/(2*x^2+8*x)
(8*x^3-cot(x))/(2*x^2-8*x)

Производная функции/ (8*x^3+cot(x))/(2*x^2-8*x)

Производная (8x^3+cot(x))/(2x^2-8*x)

Решение

Вы ввели [src]

   3         
8*x  + cot(x)
-------------
     2       
  2*x  - 8*x

$$\frac{8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}}{2 x^{2} - 8 x}$$

  /   3         \
d |8*x  + cot(x)|
--|-------------|
dx|     2       |
  \  2*x  - 8*x /

$$\frac{d}{d x} \frac{8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}}{2 x^{2} - 8 x}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 2 x^{2} - 8 x$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$
    Таким образом, в результате: $24 x^{2}$
  2. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $24 x^{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $2 x^{2} - 8 x$ почленно:
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $-8$
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    Таким образом, в результате: $4 x$
  В результате: $4 x - 8$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(4 x - 8\right) \left(8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}\right) + \left(2 x^{2} - 8 x\right) \left(24 x^{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\left(2 x^{2} - 8 x\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{4 x^{4} - 32 x^{3} - \frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{4 x^{4} - 32 x^{3} - \frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{x}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        2          2             /   3         \
-1 - cot (x) + 24*x    (8 - 4*x)*\8*x  + cot(x)/
-------------------- + -------------------------
        2                                2      
     2*x  - 8*x              /   2      \       
                             \2*x  - 8*x/

$$\frac{\left(- 4 x + 8\right) \left(8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}\right)}{\left(2 x^{2} - 8 x\right)^{2}} + \frac{24 x^{2} - \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{2 x^{2} - 8 x}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                              /              2\                                                   
                              |    4*(-2 + x) | /   3         \                                   
                              |1 - -----------|*\8*x  + cot(x)/              /       2          2\
       /       2   \          \     x*(-4 + x)/                   2*(-2 + x)*\1 + cot (x) - 24*x /
24*x + \1 + cot (x)/*cot(x) - --------------------------------- + --------------------------------
                                          x*(-4 + x)                         x*(-4 + x)           
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            x*(-4 + x)

$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 24 x - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) \left(8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}\right)}{x \left(x - 4\right)} + \frac{2 \left(x - 2\right) \left(- 24 x^{2} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x \left(x - 4\right)}}{x \left(x - 4\right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                                             /              2\                            /              2\                         
                                                                                             |    4*(-2 + x) | /       2          2\      |    2*(-2 + x) |          /   3         \
                  2                                        /       /       2   \       \   3*|1 - -----------|*\1 + cot (x) - 24*x /   12*|1 - -----------|*(-2 + x)*\8*x  + cot(x)/
     /       2   \         2    /       2   \   6*(-2 + x)*\24*x + \1 + cot (x)/*cot(x)/     \     x*(-4 + x)/                            \     x*(-4 + x)/                         
24 - \1 + cot (x)/  - 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ - ---------------------------------------- + ----------------------------------------- + ---------------------------------------------
                                                               x*(-4 + x)                                  x*(-4 + x)                                    2         2                
                                                                                                                                                        x *(-4 + x)                 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                     x*(-4 + x)

$$\frac{- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 24 + \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 2\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) \left(- 24 x^{2} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x \left(x - 4\right)} - \frac{6 \left(x - 2\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 24 x\right)}{x \left(x - 4\right)} + \frac{12 \cdot \left(1 - \frac{2 \left(x - 2\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right) \left(x - 2\right) \left(8 x^{3} + \cot{\left(x \right)}\right)}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}}{x \left(x - 4\right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (8x^3+cot(x))/(2x^2-8*x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (8*x^3+cot(x))/(2*x^2-8*x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Производная (8x^3+cot(x))/(2x^2-8*x)