Производная 3^(sin(2*x)/cos(3*x))+1/3*(sin(2*x)/3*cos(3*x)^(3))

1. дифференцируем $3^{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}} + \frac{\sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{3 \cdot 3}$ почленно:

   1. Заменим $u = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$.

   2. $\frac{d}{d u} 3^{u} = 3^{u} \log{\left(3 \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 3 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $3$

            В результате последовательности правил:

            $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3^{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}} \left(3 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \log{\left(3 \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)}$:

            1. Заменим $u = 3 x$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $3$

               В результате последовательности правил:

               $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $- 9 \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)}$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         В результате: $- 9 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(3 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

   В результате: $\frac{3^{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}} \left(3 \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right) \log{\left(3 \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} - \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{9 \cdot 3^{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}} \left(5 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) \log{\left(3 \right)} + \left(- 7 \cos{\left(x \right)} + 11 \cos{\left(5 x \right)}\right) \cos^{4}{\left(3 x \right)}}{18 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Ответ:

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}} \left(5 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) \log{\left(3 \right)} + \left(- 7 \cos{\left(x \right)} + 11 \cos{\left(5 x \right)}\right) \cos^{4}{\left(3 x \right)}}{18 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$