Производная 3*sqrt(2*x+1/x)

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = 2 x + 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $2 - \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{2 \sqrt{2 x + 1 \cdot \frac{1}{x}}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{3 \cdot \left(2 - \frac{1}{x^{2}}\right)}{2 \sqrt{2 x + 1 \cdot \frac{1}{x}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{2 x^{2} \sqrt{2 x^{2} + 1} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Ответ:

$\frac{3 \cdot \left(2 x^{2} - 1\right)}{2 x^{2} \sqrt{2 x^{2} + 1} \sqrt{\frac{1}{x}}}$