Производная ((3+6*x)/sqrt(3-4*x+5*x^2))-x*cos(x)

1. дифференцируем $- x \cos{\left(x \right)} + \frac{6 x + 3}{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 6 x + 3$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $6 x + 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $6$

         В результате: $6$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x^{2} - 4 x + 3$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} - 4 x + 3\right)$:

         1. дифференцируем $5 x^{2} - 4 x + 3$ почленно:

            1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-4$

            3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               Таким образом, в результате: $10 x$

            В результате: $10 x - 4$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{10 x - 4}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- \frac{\left(6 x + 3\right) \left(10 x - 4\right)}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}} + 6 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}}{5 x^{2} - 4 x + 3}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $x \sin{\left(x \right)} + \frac{- \frac{\left(6 x + 3\right) \left(10 x - 4\right)}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}} + 6 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 3}}{5 x^{2} - 4 x + 3} - \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $x \sin{\left(x \right)} - \frac{27 x}{\left(5 x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{3}{2}}} - \cos{\left(x \right)} + \frac{24}{\left(5 x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{3}{2}}}$

Ответ:

$x \sin{\left(x \right)} - \frac{27 x}{\left(5 x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{3}{2}}} - \cos{\left(x \right)} + \frac{24}{\left(5 x^{2} - 4 x + 3\right)^{\frac{3}{2}}}$