Производная tan(x)-log(x)^(5)

1. дифференцируем $- \log{\left(x \right)}^{5} + \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \log{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

         1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

         В результате последовательности правил:

         $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$

Ответ:

$\frac{\frac{x}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}$