Производная tan(x)/sin(2*x)

Решение

Вы ввели [src]

 tan(x) 
--------
sin(2*x)

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$$

d / tan(x) \
--|--------|
dx\sin(2*x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = 2 x$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $2$
  В результате последовательности правил:
  
  $2 \cos{\left(2 x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2                       
1 + tan (x)   2*cos(2*x)*tan(x)
----------- - -----------------
  sin(2*x)           2         
                  sin (2*x)

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(2 x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                         /         2     \            /       2   \         \
  |/       2   \            |    2*cos (2*x)|          2*\1 + tan (x)/*cos(2*x)|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) + 2*|1 + -----------|*tan(x) - ------------------------|
  |                         |        2      |                  sin(2*x)        |
  \                         \     sin (2*x) /                                  /
--------------------------------------------------------------------------------
                                    sin(2*x)

$$\frac{2 \cdot \left(2 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)}{\sin{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                                                                        /         2     \                \
  |                                                                                                        |    6*cos (2*x)|                |
  |                                                                                                      4*|5 + -----------|*cos(2*x)*tan(x)|
  |                                                /         2     \     /       2   \                     |        2      |                |
  |/       2   \ /         2   \     /       2   \ |    2*cos (2*x)|   6*\1 + tan (x)/*cos(2*x)*tan(x)     \     sin (2*x) /                |
2*|\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 6*\1 + tan (x)/*|1 + -----------| - ------------------------------- - -----------------------------------|
  |                                                |        2      |               sin(2*x)                            sin(2*x)             |
  \                                                \     sin (2*x) /                                                                        /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                   sin(2*x)

$$\frac{2 \cdot \left(6 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{4 \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)}{\sin{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x)/sin(2*x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение