Производная 1/tan(x)^(2)

Решение

Вы ввели [src]

     1   
1*-------
     2   
  tan (x)

$$1 \cdot \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

d /     1   \
--|1*-------|
dx|     2   |
  \  tan (x)/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

 /         2   \ 
-\2 + 2*tan (x)/ 
-----------------
            2    
  tan(x)*tan (x)

$$- \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{\tan{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                /       /       2   \\
  /       2   \ |     3*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|-2 + ---------------|
                |            2       |
                \         tan (x)    /
--------------------------------------
                  2                   
               tan (x)

$$\frac{2 \cdot \left(-2 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                 /                                     2\
                 |      /       2   \     /       2   \ |
   /       2   \ |    4*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/ |
-8*\1 + tan (x)/*|1 - --------------- + ----------------|
                 |           2                 4        |
                 \        tan (x)           tan (x)     /
---------------------------------------------------------
                          tan(x)

$$- \frac{8 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(1 - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left(x \right)}}\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 1/tan(x)^(2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение