Производная tan(x/6)^(3)

Решение

Вы ввели [src]

   3/x\
tan |-|
    \6/

$$\tan^{3}{\left(\frac{x}{6} \right)}$$

d /   3/x\\
--|tan |-||
dx\    \6//

$$\frac{d}{d x} \tan^{3}{\left(\frac{x}{6} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{6} \right)}$ .
В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{6} \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(\frac{x}{6} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{x}{6}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{6}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{6}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{x}{6}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{6}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{6}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        /       2/x\\
        |    tan |-||
   2/x\ |1       \6/|
tan |-|*|- + -------|
    \6/ \2      2   /

$$\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2/x\\ /         2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*|1 + 2*tan |-||*tan|-|
\        \6// \          \6//    \6/
------------------------------------
                 6

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /             2                                      \
/       2/x\\ |/       2/x\\         4/x\        2/x\ /       2/x\\|
|1 + tan |-||*||1 + tan |-||  + 2*tan |-| + 7*tan |-|*|1 + tan |-|||
\        \6// \\        \6//          \6/         \6/ \        \6///
--------------------------------------------------------------------
                                 36

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 1\right) \left(2 \tan^{4}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 7 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{6} \right)} + 1\right)^{2}\right)}{36}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная tan(x/6)^(3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение